Để giải bài toán, ta sẽ thường xuyên sử dụng các tính chất của diện tích tam giác cũng như tỉ lệ phân đoạn và quy tắc hình học.

A. Tính diện tích hình tam giác ABC
Hệ số tỷ lệ:

Gọi BC=aBC = aBC=a và BE=3xBE = 3xBE=3x, EC=xEC = xEC=x. Từ đó, ta có:
BE+EC=a  ⟹  3x+x=a  ⟹  4x=a  ⟹  x=a4BE + EC = a \implies 3x + x = a \implies 4x = a \implies x = \frac{a}{4}BE+EC=a⟹3x+x=a⟹4x=a⟹x=4a​
Do đó, BE=3x=3a4BE = 3x = \frac{3a}{4}BE=3x=43a​ và EC=x=a4EC = x = \frac{a}{4}EC=x=4a​.
Gọi AC=bAC = bAC=b và AF=2yAF = 2yAF=2y, FC=yFC = yFC=y. Từ đó, ta có:
AF+FC=b  ⟹  2y+y=b  ⟹  3y=b  ⟹  y=b3AF + FC = b \implies 2y + y = b \implies 3y = b \implies y = \frac{b}{3}AF+FC=b⟹2y+y=b⟹3y=b⟹y=3b​
Do đó, AF=2y=2b3AF = 2y = \frac{2b}{3}AF=2y=32b​ và FC=y=b3FC = y = \frac{b}{3}FC=y=3b​.
Tính tỉ lệ diện tích:

Diện tích của tam giác CEFCEFCEF bằng 2 cm22 \text{ cm}^22 cm2.
Khi EF cắt BA kéo dài tại D, diện tích của tam giác AEFAEFAEF so với diện tích tam giác ABCABCABC được xác định bởi tỉ lệ chiều cao xuất phát từ C.
Sử dụng tỷ lệ để tìm diện tích ABC:

Diện tích tam giác AEFAEFAEF là:
Diện tıˊch (AECF)=Diện tıˊch (CEF)⋅ACAF⋅BE+ECEC\text{Diện tích (AECF)} = \text{Diện tích (CEF)} \cdot \frac{AC}{AF} \cdot \frac{BE + EC}{EC}Diện tıˊch (AECF)=Diện tıˊch (CEF)⋅AFAC​⋅ECBE+EC​
Tỉ lệ chiều cao từ D xuống BC trong tam giác ABC sẽ được nhân với tỉ lệ BC.
Diện tích tam giác ABC:

Tổng quát:
SABC=SCEF⋅BCEC⋅ACAFS_{ABC} = S_{CEF} \cdot \frac{BC}{EC} \cdot \frac{AC}{AF}SABC​=SCEF​⋅ECBC​⋅AFAC​
Với SABC=SCEF⋅41⋅32S_{ABC} = S_{CEF} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{2}SABC​=SCEF​⋅14​⋅23​:
SABC=2⋅4⋅32=12 cm2S_{ABC} = 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 12 \text{ cm}^2SABC​=2⋅4⋅23​=12 cm2
B. So sánh diện tích hai hình tam giác BDF và CDF
Diện tích BDF và CDF:

Diện tích tam giác BDFBDFBDF và CDFCDFCDF đều có chung cạnh BD và CF và có thể được so sánh.
SBDFSCDF=BEEC\frac{S_{BDF}}{S_{CDF}} = \frac{BE}{EC}SCDF​SBDF​​=ECBE​
Từ số liệu trên:
BE=3a4, EC=a4  ⟹  SBDFSCDF=31BE = \frac{3a}{4}, \, EC = \frac{a}{4} \implies \frac{S_{BDF}}{S_{CDF}} = \frac{3}{1}BE=43a​,EC=4a​⟹SCDF​SBDF​​=13​
Kết luận:

Điều này cho thấy:
SBDF=3SCDFS_{BDF} = 3 S_{CDF}SBDF​=3SCDF​
Tức là, diện tích của tam giác BDFBDFBDF gấp ba lần diện tích của tam giác CDFCDFCDF.
Tóm tắt kết quả:
A. Diện tích tam giác ABC là 12 cm212 \text{ cm}^212 cm2.

B. Diện tích tam giác BDFBDFBDF gấp ba lần diện tích tam giác CDFCDFCDF.
 

Để giải bài toán, ta sẽ thường xuyên sử dụng các tính chất của diện tích tam giác cũng như tỉ lệ phân đoạn và quy tắc hình học.

A. Tính diện tích hình tam giác ABC
Hệ số tỷ lệ:

Gọi BC=aBC = aBC=a và BE=3xBE = 3xBE=3x, EC=xEC = xEC=x. Từ đó, ta có:
BE+EC=a  ⟹  3x+x=a  ⟹  4x=a  ⟹  x=a4BE + EC = a \implies 3x + x = a \implies 4x = a \implies x = \frac{a}{4}BE+EC=a⟹3x+x=a⟹4x=a⟹x=4a​
Do đó, BE=3x=3a4BE = 3x = \frac{3a}{4}BE=3x=43a​ và EC=x=a4EC = x = \frac{a}{4}EC=x=4a​.
Gọi AC=bAC = bAC=b và AF=2yAF = 2yAF=2y, FC=yFC = yFC=y. Từ đó, ta có:
AF+FC=b  ⟹  2y+y=b  ⟹  3y=b  ⟹  y=b3AF + FC = b \implies 2y + y = b \implies 3y = b \implies y = \frac{b}{3}AF+FC=b⟹2y+y=b⟹3y=b⟹y=3b​
Do đó, AF=2y=2b3AF = 2y = \frac{2b}{3}AF=2y=32b​ và FC=y=b3FC = y = \frac{b}{3}FC=y=3b​.
Tính tỉ lệ diện tích:

Diện tích của tam giác CEFCEFCEF bằng 2 cm22 \text{ cm}^22 cm2.
Khi EF cắt BA kéo dài tại D, diện tích của tam giác AEFAEFAEF so với diện tích tam giác ABCABCABC được xác định bởi tỉ lệ chiều cao xuất phát từ C.
Sử dụng tỷ lệ để tìm diện tích ABC:

Diện tích tam giác AEFAEFAEF là:
Diện tıˊch (AECF)=Diện tıˊch (CEF)⋅ACAF⋅BE+ECEC\text{Diện tích (AECF)} = \text{Diện tích (CEF)} \cdot \frac{AC}{AF} \cdot \frac{BE + EC}{EC}Diện tıˊch (AECF)=Diện tıˊch (CEF)⋅AFAC​⋅ECBE+EC​
Tỉ lệ chiều cao từ D xuống BC trong tam giác ABC sẽ được nhân với tỉ lệ BC.
Diện tích tam giác ABC:

Tổng quát:
SABC=SCEF⋅BCEC⋅ACAFS_{ABC} = S_{CEF} \cdot \frac{BC}{EC} \cdot \frac{AC}{AF}SABC​=SCEF​⋅ECBC​⋅AFAC​
Với SABC=SCEF⋅41⋅32S_{ABC} = S_{CEF} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{2}SABC​=SCEF​⋅14​⋅23​:
SABC=2⋅4⋅32=12 cm2S_{ABC} = 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 12 \text{ cm}^2SABC​=2⋅4⋅23​=12 cm2
B. So sánh diện tích hai hình tam giác BDF và CDF
Diện tích BDF và CDF:

Diện tích tam giác BDFBDFBDF và CDFCDFCDF đều có chung cạnh BD và CF và có thể được so sánh.
SBDFSCDF=BEEC\frac{S_{BDF}}{S_{CDF}} = \frac{BE}{EC}SCDF​SBDF​​=ECBE​
Từ số liệu trên:
BE=3a4, EC=a4  ⟹  SBDFSCDF=31BE = \frac{3a}{4}, \, EC = \frac{a}{4} \implies \frac{S_{BDF}}{S_{CDF}} = \frac{3}{1}BE=43a​,EC=4a​⟹SCDF​SBDF​​=13​
Kết luận:

Điều này cho thấy:
SBDF=3SCDFS_{BDF} = 3 S_{CDF}SBDF​=3SCDF​
Tức là, diện tích của tam giác BDFBDFBDF gấp ba lần diện tích của tam giác CDFCDFCDF.
Tóm tắt kết quả:
A. Diện tích tam giác ABC là 12 cm212 \text{ cm}^212 cm2.

B. Diện tích tam giác BDFBDFBDF gấp ba lần diện tích tam giác CDFCDFCDF.