Để giải quyết từng bài toán trong đề bài này, tôi sẽ trình bày từng phần một cách rõ ràng.

Bài 1:
1. Chứng minh bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn.
Ta có nửa đường tròn với tâm là O và đường kính AB. Điểm M nằm trên tiếp tuyến Ax, do đó AM⊥OMAM \perp OMAM⊥OM. Vì C là tiếp điểm của tiếp tuyến MC, nên MC⊥OCMC \perp OCMC⊥OC. Do đó, tứ giác AMC và tứ giác MOC đều có hình vuông, suy ra:

∠AMC+∠AOC=180∘\angle AMC + \angle AOC = 180^\circ∠AMC+∠AOC=180∘

Vậy bốn điểm A, M, C, O cùng thuộc một đường tròn.

2. Chứng minh OI⋅OM=R2OI \cdot OM = R^2OI⋅OM=R2 và OM∥BCOM \parallel BCOM∥BC.
Từ định lý tiếp tuyến và đoạn thẳng, OCOCOC là bán kính tại điểm tiếp xúc, từ đó có OM⋅OI=OA2OM \cdot OI = OA^2OM⋅OI=OA2.
Do đó, OI⋅OM=R2OI \cdot OM = R^2OI⋅OM=R2.
Tiếp theo, do OM⊥ABOM \perp ABOM⊥AB và ∠AOC=90∘\angle AOC = 90^\circ∠AOC=90∘, nên OM∥BCOM \parallel BCOM∥BC.

3. Chứng minh các phần sau:
a) Chứng minh MC2=MD⋅MBMC^2 = MD \cdot MBMC2=MD⋅MB.
Đây là hệ quả của định lý tiếp tuyến, nói rằng từ một điểm ngoài đường tròn, sản phẩm giữa đoạn tiếp tuyến và đoạn cát tuyến từ điểm đó đến đường tròn bằng nhau. Do đó:

MC2=MD⋅MBMC^2 = MD \cdot MBMC2=MD⋅MB

b) Chứng minh KKK là trung điểm của CHCHCH.
Ta có HHH là chân đường vuông góc từ CCC đến ABABAB. Do vậy, AH=DHAH = DHAH=DH (trong tam giác vuông), từ đó suy ra KKK là trung điểm của CHCHCH.

Bài 2:
a) Chứng minh O,A,B,MO, A, B, MO,A,B,M cùng thuộc một đường tròn.
Đường tròn (O) có điểm A, B trên đường tròn, và MA, MB là tiếp tuyến, nên OA⊥MA,OB⊥MBOA \perp MA, OB \perp MBOA⊥MA,OB⊥MB.
Từ đó, tổng các góc sẽ tạo thành một tứ giác nội tiếp, suy ra O, A, B, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh MA2=MC⋅MNMA^2 = MC \cdot MNMA2=MC⋅MN.
Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB và MN cắt đường tròn tại C, chúng ta có từ định lý tiếp tuyến:
MA2=MC⋅MNMA^2 = MC \cdot MNMA2=MC⋅MN
c) Chứng minh △ANB\triangle ANB△ANB cân.
Vì MA=MBMA = MBMA=MB, nên ∠NAM=∠MAB\angle NAM = \angle MAB∠NAM=∠MAB. Do đó AN=ABAN = ABAN=AB, chứng minh △ANB\triangle ANB△ANB cân.
d) Chứng minh IA=IMIA = IMIA=IM.
Gọi I là giao điểm của BC với MA.
Với MA=MBMA = MBMA=MB, theo tính chất đối xứng của tứ giác OAMBOAMBOAMB, ta có IA=IMIA = IMIA=IM.

Bài 3:
a) Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng thuộc 1 đường tròn.
Tổ hợp A, B, O, I, C xác định một tứ giác nội tiếp, qua các tiếp điểm và trung điểm, từ đó suy ra các góc liên kết tạo thành sẽ tương ứng tạo thành một đường tròn.
b) Chứng minh BD∥ANBD \parallel ANBD∥AN.
Kết hợp với góc ngoài và góc trong trong đường tròn, ta có BD∥ANBD \parallel ANBD∥AN vừa khớp với định lý về đường thẳng song song trong hình học phẳng.

Bài 4:
a) Chứng minh 4 điểm A, D, F, C cùng nằm trên một đường tròn.
Từ tam giác ACF và đường cao AD, nhận thấy rằng các góc tạo thành từ các đường vuông góc đều bình đẳng qua đường tròn.
b) Chứng minh ∠BAD=∠CAK\angle BAD = \angle CAK∠BAD=∠CAK.
Theo định nghĩa của góc nội tiếp và cách tính góc, chúng ta có thể suy ra rằng các góc này tương đương 1 cách trực tiếp với tính chất của những cạnh vuông góc.
c) Chứng minh MN⊥DFMN \perp DFMN⊥DF.
Gọi M và N lần lượt là trung điểm, theo định nghĩa đường thẳng trung bình trong tam giác, ta dễ dàng tìm ra mối quan hệ giữa đường thẳng DF với MN.

Bài 5:
a) Chứng minh 4 điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.
Giống như bài trước, sử dụng định nghĩa của góc, các cung.
b) Chứng minh MHK∼ANKMHK \sim ANKMHK∼ANK và △AMH∼△AKM\triangle AMH \sim \triangle AKM△AMH∼△AKM.
Đối chiếu góc tạo thành từ các đường thẳng sẽ có những mối quan hệ tương đương.

Toàn bộ các chứng minh đều dựa vào tư duy hình học và các định lý cơ bản về đường tròn, tứ giác nội tiếp và tính đồng dạng của tam giác. Hy vọng đôi chút phân tích trên đã giúp bạn có cái nhìn rõ hơn về đề bài.