Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ vẽ tam giác MNPMNPMNP vuông tại MMM với MN=6 cmMN = 6 \, \text{cm}MN=6cm. Các điểm DDD và EEE nằm trên tia MNMNMN, với MD=3 cmMD = 3 \, \text{cm}MD=3cm và ME=8 cmME = 8 \, \text{cm}ME=8cm.

a) So sánh độ dài PDPDPD và PEPEPE
Để so sánh PDPDPD và PEPEPE, đầu tiên chúng ta cần xác định vị trí của các điểm.

Xác định tọa độ:

Giả sử MMM có tọa độ (0,0)(0, 0)(0,0).
Điểm NNN sẽ có tọa độ (6,0)(6, 0)(6,0) (vì MN=6 cmMN = 6 \, \text{cm}MN=6cm).
Điểm PPP nằm trên đoạn thẳng MPMPMP sao cho MPMPMP vuông với MNMNMN. Ta có thể giả định tọa độ điểm PPP là (0,h)(0, h)(0,h) với h>0h > 0h>0.
Tìm tọa độ điểm DDD và EEE:

Điểm DDD có tọa độ (3,0)(3, 0)(3,0) (vì MD=3 cmMD = 3 \, \text{cm}MD=3cm).
Điểm EEE có tọa độ (8,0)(8, 0)(8,0) (vì ME=8 cmME = 8 \, \text{cm}ME=8cm).
Tính độ dài PDPDPD và PEPEPE:

Độ dài PD=(3−0)2+(0−h)2=9+h2PD = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{9 + h^2}PD=(3−0)2+(0−h)2​=9+h2​.
Độ dài PE=(8−0)2+(0−h)2=64+h2PE = \sqrt{(8 - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{64 + h^2}PE=(8−0)2+(0−h)2​=64+h2​.
So sánh PDPDPD và PEPEPE:

Ta có:
PD=9+h2PD = \sqrt{9 + h^2}PD=9+h2​
PE=64+h2PE = \sqrt{64 + h^2}PE=64+h2​
Để so sánh PDPDPD và PEPEPE, ta có:
PD<PE⇔9+h2<64+h2PD < PE \Leftrightarrow \sqrt{9 + h^2} < \sqrt{64 + h^2}PD<PE⇔9+h2​<64+h2​
Bình phương hai vế (vì cả hai đều dương):
9+h2<64+h29 + h^2 < 64 + h^29+h2<64+h2
Rút gọn:
9<649 < 649<64
Đúng. Vậy ta có:
PD<PEPD < PEPD<PE
b) Sắp xếp các đoạn thẳng PDPDPD, PEPEPE, PNPNPN theo thứ tự có độ dài tăng dần
Tính độ dài PNPNPN:

Độ dài PN=(6−0)2+(0−h)2=36+h2PN = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{36 + h^2}PN=(6−0)2+(0−h)2​=36+h2​.
So sánh độ dài các đoạn thẳng:

So sánh PDPDPD, PEPEPE và PNPNPN:Ta đã có:PD=9+h2PD = \sqrt{9 + h^2}PD=9+h2​
PE=64+h2PE = \sqrt{64 + h^2}PE=64+h2​
PN=36+h2PN = \sqrt{36 + h^2}PN=36+h2​
Để so sánh và sắp xếp:

Với các biểu thức:
PD<PE (đa˜ chứng minh)PD < PE \text{ (đã chứng minh)}PD<PE (đa˜ chứng minh)
Tiếp tục so sánh PNPNPN với PDPDPD và PEPEPE:Để so sánh PDPDPD và PNPNPN:
PD<PN⇔9+h2<36+h2PD < PN \Leftrightarrow \sqrt{9 + h^2} < \sqrt{36 + h^2}PD<PN⇔9+h2​<36+h2​Bình phương hai vế:
9+h2<36+h2⇔9<36 (đuˊng)9 + h^2 < 36 + h^2 \Leftrightarrow 9 < 36 \text{ (đúng)}9+h2<36+h2⇔9<36 (đuˊng)
Để so sánh PEPEPE và PNPNPN:
PE<PN⇔64+h2<36+h2PE < PN \Leftrightarrow \sqrt{64 + h^2} < \sqrt{36 + h^2}PE<PN⇔64+h2​<36+h2​Bình phương:
64+h2<36+h2⇔64<36 (sai)64 + h^2 < 36 + h^2 \Leftrightarrow 64 < 36 \text{ (sai)}64+h2<36+h2⇔64<36 (sai)
Vậy:
PE>PN.PE > PN.PE>PN.
Kết luận:
Từ đó, ta có được thứ tự độ dài của các đoạn thẳng:

PD<PN<PE.PD < PN < PE.PD<PN<PE.

Tóm lại:

a) PD<PEPD < PEPD<PE.
b) Sắp xếp: PD<PN<PEPD < PN < PEPD<PN<PE.