a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD
Giả thiết: Tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC tại D, DE vuông góc với BC, H là giao điểm của DE và AB.

Chứng minh:

Định nghĩa: Theo định nghĩa điều kiện phân giác, ta có:
ADDC=ABBC\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}DCAD​=BCAB​
Cạnh tương ứng: Các tam giác ABD và EBD có cạnh chung là BD.
Góc tương ứng: Ta có:

Góc ABD = góc EBD (cùng chung một góc).
Góc ADB = góc EDB (bởi DE ⊥ BC, và BD là đường vuông góc).
Thiết lập: Với ba yếu tố này (cạnh chung BD, và hai cặp góc bằng nhau), ta áp dụng định lý tam giác đồng dạng (tam giác ABD = tam giác EBD).
Kết luận:
Tam giác ABD=EBDABD = EBDABD=EBD.

b) So sánh AD và DC
Do DDD là điểm phân giác của góc BBB trong triangle ABCABCABC:

Theo tính chất củaa tia phân giác trong tam giác, ta có:
ADDC=ABBC\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}DCAD​=BCAB​

Vì ABABAB và BCBCBC là hai cạnh của tam giác vuông tại A, suy ra AB<BCAB < BCAB<BC (vì ABABAB là đoạn cạnh huyền), dẫn đến:
ADDC<1  ⟹  AD<DC.\frac{AD}{DC} < 1 \implies AD < DC.DCAD​<1⟹AD<DC.

Kết luận:
AD<DCAD < DCAD<DC.

c) Chứng minh AM vuông góc với HC
Chứng minh:

Góc vuông: Từ tính chất DE ⊥ BC:

H là giao điểm của DE và AB, suy ra DE⊥ABDE \perp ABDE⊥AB (vì DE vuông góc với BC, AB là đường vuông góc với BC tại A).
Tính chất hình ảnh: Từ định nghĩa MMM là trung điểm của đoạn HCHCHC, suy ra HM=MCHM = MCHM=MC.
Góc AMH: Ta có tam giác AMHAMHAMH vuông tại H (AM vừa là đường thẳng đứng với AB).
Góc AMC: Do hai đoạn AM và MC cùng vuông góc với AB nên góc AMH và góc CMH đều vuông, dẫn đến:

AM vuông góc với HC.
Kết luận:
AM⊥HCAM \perp HCAM⊥HC.

Tổng hợp:
Chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán liên quan đến tam giác ABC và các điểm D, E, H, M. Hãy nhớ rằng sự tương đồng và tính chất của các cạnh và góc trong tam giác vuông cần chúng ta vận dụng một cách linh hoạt.

a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD
Giả thiết: Tam giác ABC vuông tại A, tia phân giác góc B cắt AC tại D, DE vuông góc với BC, H là giao điểm của DE và AB.

Chứng minh:

Định nghĩa: Theo định nghĩa điều kiện phân giác, ta có:
ADDC=ABBC\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}DCAD​=BCAB​
Cạnh tương ứng: Các tam giác ABD và EBD có cạnh chung là BD.
Góc tương ứng: Ta có:

Góc ABD = góc EBD (cùng chung một góc).
Góc ADB = góc EDB (bởi DE ⊥ BC, và BD là đường vuông góc).
Thiết lập: Với ba yếu tố này (cạnh chung BD, và hai cặp góc bằng nhau), ta áp dụng định lý tam giác đồng dạng (tam giác ABD = tam giác EBD).
Kết luận:
Tam giác ABD=EBDABD = EBDABD=EBD.

b) So sánh AD và DC
Do DDD là điểm phân giác của góc BBB trong triangle ABCABCABC:

Theo tính chất củaa tia phân giác trong tam giác, ta có:
ADDC=ABBC\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}DCAD​=BCAB​

Vì ABABAB và BCBCBC là hai cạnh của tam giác vuông tại A, suy ra AB<BCAB < BCAB<BC (vì ABABAB là đoạn cạnh huyền), dẫn đến:
ADDC<1  ⟹  AD<DC.\frac{AD}{DC} < 1 \implies AD < DC.DCAD​<1⟹AD<DC.

Kết luận:
AD<DCAD < DCAD<DC.

c) Chứng minh AM vuông góc với HC
Chứng minh:

Góc vuông: Từ tính chất DE ⊥ BC:

H là giao điểm của DE và AB, suy ra DE⊥ABDE \perp ABDE⊥AB (vì DE vuông góc với BC, AB là đường vuông góc với BC tại A).
Tính chất hình ảnh: Từ định nghĩa MMM là trung điểm của đoạn HCHCHC, suy ra HM=MCHM = MCHM=MC.
Góc AMH: Ta có tam giác AMHAMHAMH vuông tại H (AM vừa là đường thẳng đứng với AB).
Góc AMC: Do hai đoạn AM và MC cùng vuông góc với AB nên góc AMH và góc CMH đều vuông, dẫn đến:

AM vuông góc với HC.
Kết luận:
AM⊥HCAM \perp HCAM⊥HC.

Tổng hợp:
Chúng ta đã chứng minh được cả ba phần của bài toán liên quan đến tam giác ABC và các điểm D, E, H, M. Hãy nhớ rằng sự tương đồng và tính chất của các cạnh và góc trong tam giác vuông cần chúng ta vận dụng một cách linh hoạt.

kết quả là đây nhe s