Để chứng minh các kết quả cho bài toán về tam giác ABC và các điểm như đã mô tả, ta tiến hành từng phần một.

a. Chứng minh tam giác ADE cân:

Trong tam giác ABC cân tại A, có AB=ACAB = ACAB=AC.

Ta có DDD trên tia BCBCBC và EEE trên tia đối của CBCBCB sao cho BD=CEBD = CEBD=CE.

Xét hai điểm DDD và EEE:

Cạnh ADADAD và cạnh AEAEAE được xem như hai bên của một tam giác, và bởi vì DDD và EEE được xác định sao cho BD=CEBD = CEBD=CE, nên chúng ta có thể dùng phương pháp đối xứng trong tam giác.
Sử dụng tính chất đối xứng của tam giác cân ABC, khi điểm DDD thay đổi trên đoạn thẳng BCBCBC, điểm EEE sẽ di chuyển nhưng luôn giữ rằng BD=CEBD = CEBD=CE. Như vậy sẽ có:

AD=AEAD = AEAD=AE

Do đó, tam giác ADEADEADE là tam giác cân.

b. Chứng minh tam giác BHD = tam giác CKE:

Ta đã có cách tạo ra độ dài BDBDBD và CECECE bằng nhau. Ta kẻ BHBHBH vuông góc với ADADAD và CKCKCK vuông góc với AEAEAE.

Sử dụng các tính chất của các tam giác vuông:

BHBHBH vuông góc với ADADAD và CKCKCK vuông góc với AEAEAE, sẽ cho chúng ta altitudes của tam giác.
Gọi HHH và KKK lần lượt là các hình chiếu vuông góc của BBB và CCC lên ADADAD và AEAEAE.

Trong tam giác BHD và tam giác CKE, chúng ta có:

BD=CEBD = CEBD=CE (theo giả thiết)
∠BHD=∠CKE=90∘\angle BHD = \angle CKE = 90^\circ∠BHD=∠CKE=90∘
Vì vậy, từ tính chất của tam giác vuông, ta có thể khẳng định rằng:

△BHD≅△CKE(theođịnhlyˊcạnh−goˊc−cạnh)\triangle BHD \cong \triangle CKE \quad (theo định lý cạnh-góc-cạnh)△BHD≅△CKE(theođịnhlyˊ​cạnh−goˊc−cạnh)

c. Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh AI là đường trung trực của DE:

Để chứng minh AIAIAI là đường trung trực của DEDEDE, ta cần chứng minh rằng III là trung điểm của DEDEDE và AIAIAI vuông góc với DEDEDE.

Ta có AIAIAI sẽ vuông góc với DEDEDE vì BHBHBH vuông góc với ADADAD và CKCKCK vuông góc với AEAEAE; BHBHBH và CKCKCK giao nhau tại III.
Và từ phần b, chúng ta thấy rằng các cạnh bị chia đôi theo chiều dài, với BD=CEBD = CEBD=CE. Do đó, ta có DI=EIDI = EIDI=EI (do điểm III nằm trên đường thẳng nối giữa DDD và EEE) và AIAIAI sẽ là đường trung trực.

Như vậy, ta có:

III là trung điểm của DEDEDE, và AIAIAI vuông góc với DEDEDE.
Cuối cùng, suy ra rằng AIAIAI là đường trung trực của đoạn thẳng DEDEDE.

Như vậy, các chứng minh cho các phần a, b và c đã hoàn tất.