Để phân số \( \frac{21 + 3}{6n + 4} \) có thể rút gọn được, ta cần tìm số tự nhiên \( n \) sao cho tử số và mẫu số có một yếu tố chung (tức là có thể chia chung cho một số nguyên lớn hơn 1).

 Rút gọn tử số và mẫu số

- Tử số: \( 21 + 3 = 24 \)
- Mẫu số: \( 6n + 4 \)

Ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho \( 24 \) và \( 6n + 4 \) có thể chia cho cùng một ước số. Tức là, \( \text{GCD}(24, 6n + 4) > 1 \).

Phân tích tử số và mẫu số

- \( 24 = 2^3 \times 3 \), có các ước là: \( 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 \).
- Mẫu số \( 6n + 4 = 2(3n + 2) \).

Vậy để phân số có thể rút gọn, mẫu số \( 6n + 4 = 2(3n + 2) \) cần có ước chung với 24, tức là \( 3n + 2 \) phải chia hết cho một trong các ước của 12 (vì \( 24 = 2^3 \times 3 \) có thể chia cho 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12).

Tìm \( n \)

- \( 3n + 2 \) phải chia hết cho 3 (vì \( 24 \) có yếu tố 3). Vậy ta có:

\[
3n + 2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3)
\]

Giải phương trình đồng dư:

\[
3n + 2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 3)
\]

\[
3n \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3)
\]

Điều này chỉ ra rằng \( n \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3) \).

Vậy, số tự nhiên \( n \) có dạng \( n = 3k + 1 \), với \( k \) là một số nguyên.

Để phân số \( \frac{21 + 3}{6n + 4} \) có thể rút gọn được, số tự nhiên \( n \) phải có dạng \( n = 3k + 1 \), trong đó \( k \) là một số nguyên.