Cho số tự nhiên có 4 chữ số abcd chia hết cho 3. Chứng tỏ rằng a3+b3+c3+d3chia h

nguyễn tuệ minh Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 6 Văn học

· 10:12 19/01/2025

Cho số tự nhiên có 4 chữ số abcd chia hết cho 3. Chứng tỏ rằng a³+b³+c³+d³chia hết cho 3

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 398

Sang Phạm

11 tháng trước

Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Tức là, số tự nhiên $ N = 1000a + 100b + 10c + d $ chia hết cho 3 nếu và chỉ nếu:
\[
a + b + c + d \equiv 0 \pmod{3}
\]
Điều này có nghĩa là tổng các chữ số $ a + b + c + d $ chia hết cho 3.

Chúng ta cần chứng minh rằng $ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 $ cũng chia hết cho 3, tức là:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv 0 \pmod{3}
\]
Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của lũy thừa modulo 3. Ta biết rằng:
\[
x^3 \equiv x \pmod{3}
\]
Đây là một tính chất nổi bật đối với các số modulo 3. Cụ thể:
- Nếu $ x \equiv 0 \pmod{3} $, thì $ x^3 \equiv 0 \pmod{3} $
- Nếu $ x \equiv 1 \pmod{3} $, thì $ x^3 \equiv 1 \pmod{3} $
- Nếu $ x \equiv 2 \pmod{3} $, thì $ x^3 \equiv 2 \pmod{3} $

Do $ a, b, c, d $ là các chữ số của số $ abcd $, mỗi chữ số $ a, b, c, d $ có thể nhận giá trị trong tập $ \{0, 1, 2\} $ khi xét modulo 3.

Vì vậy, ta có:
\[
a^3 \equiv a \pmod{3}, \quad b^3 \equiv b \pmod{3}, \quad c^3 \equiv c \pmod{3}, \quad d^3 \equiv d \pmod{3}
\]
Do đó:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv a + b + c + d \pmod{3}
\]

Vì theo giả thiết, số $ abcd $ chia hết cho 3, ta có:
\[
a + b + c + d \equiv 0 \pmod{3}
\]
Do đó, từ kết quả trên:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \equiv a + b + c + d \equiv 0 \pmod{3}
\]

Vậy, $ a^3 + b^3 + c^3 + d^3 $ chia hết cho 3 khi $ abcd $ chia hết cho 3.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết