Để xét sự biến thiên của hàm số y=x−1x+1y=x−1x+1, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm:

y′=(x+1)(1)−(x−1)(1)(x+1)2=x+1−x+1(x+1)2=2(x+1)2y′=(x+1)(1)−(x−1)(1)(x+1)2=x+1−x+1(x+1)2=2(x+1)2
Dấu đạo hàm:

y′>0y′>0 với mọi x≠−1x≠−1, vì (x+1)2>0(x+1)2>0 với mọi x≠−1x≠−1.
Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên tập xác định (trừ x=−1x=−1, vì tại đó hàm không xác định).
Khi x→−1−,y→−∞y→−∞x→−1−,y→−∞y→−∞ và khi x→−1+x→−1+, y→+∞y→+∞.
Khi x→±∞,y→1y→1x→±∞,y→1y→1.
Đặc điểm:

Hàm số có một điểm gián đoạn tại x=−1x=−1.
Hàm đồng biến trên (−∞,−1)(−∞,−1) và (−1,∞)(−1,∞).
Hàm có tiệm cận ngang y=1y=1.
Kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và có tiệm cận ngang tại y=1y=1, với một điểm gián đoạn tại x=−1.

Để xét sự biến thiên của hàm số $y = \frac{x-1}{x+1}$, ta thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm:

$y' = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$
Dấu đạo hàm:

$y' > 0$ với mọi $x \neq -1$, vì $(x+1)^2 > 0$ với mọi $x \neq -1$.
Sự biến thiên:

Hàm số đồng biến trên tập xác định (trừ $x = -1$, vì tại đó hàm không xác định).
Khi $x \to -1^-, y→−∞y \to -\infty$ và khi $x \to -1^+$, $y \to +\infty$.
Khi $x \to \pm \infty, y→1y \to 1$.
Đặc điểm:

Hàm số có một điểm gián đoạn tại $x = -1$.
Hàm đồng biến trên $(-\infty, -1)$ và $(-1, \infty)$.
Hàm có tiệm cận ngang $y = 1$.
Kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định và có tiệm cận ngang tại $y = 1$, với một điểm gián đoạn tại $x = -1.$