Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a = -x2 - y2 + xy + 2x + 2y
Quảng cáo
1 câu trả lời 163
Biểu thức của \( a \) là:
\[
a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y
\]
Đạo hàm riêng theo \( x \):
\[
\frac{\partial a}{\partial x} = -2x + y + 2
\]
Đạo hàm riêng theo \( y \):
\[
\frac{\partial a}{\partial y} = -2y + x + 2
\]
Để tìm các điểm cực trị, ta giải hệ phương trình từ các đạo hàm riêng bằng 0.
\[
\frac{\partial a}{\partial x} = -2x + y + 2 = 0 \quad \text{(1)}
\]
\[
\frac{\partial a}{\partial y} = -2y + x + 2 = 0 \quad \text{(2)}
\]
Giải hệ phương trình này:
- Từ (1): \( -2x + y + 2 = 0 \) \( \Rightarrow y = 2x - 2 \)
- Thay \( y = 2x - 2 \) vào (2):
\[
-2(2x - 2) + x + 2 = 0
\]
\[
-4x + 4 + x + 2 = 0
\]
\[
-3x + 6 = 0
\]
\[
x = 2
\]
Thay \( x = 2 \) vào \( y = 2x - 2 \):
\[
y = 2(2) - 2 = 2
\]
Vậy, điểm cực trị là \( (x, y) = (2, 2) \).
Để xác định xem điểm \( (2, 2) \) là cực đại hay cực tiểu, ta tính ma trận Hessian của hàm \( a \).
Ma trận Hessian là ma trận của các đạo hàm bậc 2 của \( a \).
Đạo hàm bậc 2:
\[
\frac{\partial^2 a}{\partial x^2} = -2, \quad \frac{\partial^2 a}{\partial y^2} = -2
\]
\[
\frac{\partial^2 a}{\partial x \partial y} = 1
\]
Ma trận Hessian là:
\[
H = \begin{pmatrix}
-2 & 1 \\
1 & -2
\end{pmatrix}
\]
\[
\text{det}(H) = (-2)(-2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3
\]
Vì \( \text{det}(H) > 0 \) và \( \frac{\partial^2 a}{\partial x^2} = -2 < 0 \), điểm \( (2, 2) \) là điểm cực đại.
Cuối cùng, ta tính giá trị của \( a \) tại điểm \( (x, y) = (2, 2) \):
\[
a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y
\]
\[
a = -(2)^2 - (2)^2 + (2)(2) + 2(2) + 2(2)
\]
\[
a = -4 - 4 + 4 + 4 + 4 = 4
\]
Giá trị lớn nhất của biểu thức \( a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y \) là \( \boxed{4} \).
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
19886
