Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a = -x2 - y2 + xy + 2x + 2y
Quảng cáo
1 câu trả lời 60
Biểu thức của aa là:
a=−x2−y2+xy+2x+2ya=−x2−y2+xy+2x+2y
Đạo hàm riêng theo xx:
∂a∂x=−2x+y+2∂a∂x=−2x+y+2
Đạo hàm riêng theo yy:
∂a∂y=−2y+x+2∂a∂y=−2y+x+2
Để tìm các điểm cực trị, ta giải hệ phương trình từ các đạo hàm riêng bằng 0.
∂a∂x=−2x+y+2=0(1)∂a∂x=−2x+y+2=0(1)
∂a∂y=−2y+x+2=0(2)∂a∂y=−2y+x+2=0(2)
Giải hệ phương trình này:
- Từ (1): −2x+y+2=0−2x+y+2=0 ⇒y=2x−2⇒y=2x−2
- Thay y=2x−2y=2x−2 vào (2):
−2(2x−2)+x+2=0−2(2x−2)+x+2=0
−4x+4+x+2=0−4x+4+x+2=0
−3x+6=0−3x+6=0
x=2x=2
Thay x=2x=2 vào y=2x−2y=2x−2:
y=2(2)−2=2y=2(2)−2=2
Vậy, điểm cực trị là (x,y)=(2,2)(x,y)=(2,2).
Để xác định xem điểm (2,2)(2,2) là cực đại hay cực tiểu, ta tính ma trận Hessian của hàm aa.
Ma trận Hessian là ma trận của các đạo hàm bậc 2 của aa.
Đạo hàm bậc 2:
∂2a∂x2=−2,∂2a∂y2=−2∂2a∂x2=−2,∂2a∂y2=−2
∂2a∂x∂y=1∂2a∂x∂y=1
Ma trận Hessian là:
H=(−211−2)
det(H)=(−2)(−2)−(1)(1)=4−1=3
Vì det(H)>0 và ∂2a∂x2=−2<0, điểm (2,2) là điểm cực đại.
Cuối cùng, ta tính giá trị của a tại điểm (x,y)=(2,2):
a=−x2−y2+xy+2x+2y
a=−(2)2−(2)2+(2)(2)+2(2)+2(2)
a=−4−4+4+4+4=4
Giá trị lớn nhất của biểu thức a=−x2−y2+xy+2x+2y là 4.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
18655