Chứng minh MD = NE:

Xét hai tam giác vuông BDM và CEN:Góc BDM = Góc CEN = 90 độ
BD = CE (theo giả thiết)
Góc ABC = Góc ACB (do tam giác ABC cân tại A), mà góc ABC = góc MBD (đối đỉnh), góc ACB = góc NCE (đối đỉnh) => Góc MBD = Góc NCE
Do đó, ΔBDM = ΔCEN (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Suy ra: MD = NE (hai cạnh tương ứng)
b) Chứng minh I là trung điểm của MN:

Gọi giao điểm của MN và BC là I.
Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F.
Xét ΔMFB và ΔNEC có:Góc MFB = Góc NCE (do MF // AC và hai góc ở vị trí đồng vị)
Góc ABC = Góc ACB (do tam giác ABC cân tại A) => Góc MBF = Góc NCE (do cùng bù với hai góc bằng nhau)
Mà góc MFB = Góc MBF (do tam giác MFB cân tại M) => Góc MBF = Góc NCE
MB = NC (do ΔBDM = ΔCEN)
Góc BMF = Góc CNE = 90 độ - Góc MBD = 90 độ - Góc NCE
Do đó, ΔMFB = ΔNEC (g-c-g)
Suy ra: MF = NE (hai cạnh tương ứng)
Mà MD = NE (chứng minh trên) => MD = MF
Xét hai tam giác vuông MDI và MFI:MD = MF (chứng minh trên)
MI là cạnh chung
Góc MDI = Góc MFI = 90 độ
Do đó, ΔMDI = ΔMFI (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
Suy ra: DI = FI (hai cạnh tương ứng) và Góc DMI = Góc FMI (hai góc tương ứng)
Xét hai tam giác MFI và NEI:MF = NE (chứng minh trên)
Góc MFI = Góc NEI = 90 độ
Góc FMI = Góc ENI (do cùng phụ với hai góc bằng nhau là DMI và MFI)
Do đó, ΔMFI = ΔNEI (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
Suy ra: MI = NI (hai cạnh tương ứng)
Vậy I là trung điểm của MN.
c) Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định:

Gọi O là giao điểm của đường thẳng vuông góc với MN tại I và đường trung trực của BC.
Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực của BC đồng thời là đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến xuất phát từ A.
Ta cần chứng minh O cố định, tức là O nằm trên đường trung trực của BC.
Gọi K là trung điểm của BC.
Xét ΔOIM và ΔOIN có:OI là cạnh chung
IM = IN (do I là trung điểm MN)
Góc OIM = Góc OIN = 90 độ
Do đó, ΔOIM = ΔOIN (c-g-c)
Suy ra: OM = ON (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔOBD và ΔOCE có:OB = OC (do O nằm trên đường trung trực của BC)
BD = CE (giả thiết)
Góc OBD = Góc OCE (do ΔOBD cân tại O, ΔOCE cân tại O)
Do đó, ΔOBD = ΔOCE (c-g-c)Suy ra: OD = OE (hai cạnh tương ứng)
Xét ΔOMD và ΔONE có:OM = ON (chứng minh trên)
MD = NE (chứng minh trên)
OD = OE (chứng minh trên)
Do đó, ΔOMD = ΔONE (c-c-c)
Suy ra: Góc OMD = Góc ONE (hai góc tương ứng)
Mà Góc OMD + Góc BMD = 180 độ, Góc ONE + Góc CNE = 180 độ
Suy ra: Góc BMD = Góc CNE
Mặt khác, ΔBMD = ΔCNE (chứng minh trên) => Góc BMD = Góc CNE
Suy ra: Góc OMD = Góc ONE = Góc BMD = Góc CNE
Do ΔOMD = ΔONE => Góc MOD = Góc NOE
Xét tứ giác OKDI:Góc OKD = Góc ODI = 90 độ => Tứ giác OKDI nội tiếp
Suy ra: Góc OKI = Góc ODI = 90 độ
Vậy OK ⊥ BC
Do K là trung điểm BC cố định, đường trung trực của BC cố định nên OK cố định.
Mà O nằm trên OK nên O cố định.
Do đó, đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua điểm O cố định khi D di chuyển trên cạnh BC