Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước chứng minh như sau:

A. Chứng minh tam giác AHC bằng tam giác MHC
Đầu vào:

Tam giác ABC vuông tại A.
AH vuông góc với BC tại H.
HM = HA.
Chứng minh:

Xét hai tam giác AHC và MHC.
Ta có:AH = HM (theo giả thiết).
HC chung (2 tam giác có cạnh HC chung).
Góc AHC = Góc MHC (vì AH vuông góc với BC).
Từ đó, ta suy ra rằng:Tam giác AHC ≅ Tam giác MHC (theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh - CGC).
B. Chứng minh tam giác AHC bằng tam giác MHD
Đầu vào:

Kẻ đường thẳng MX song song với AC, cắt BC tại D.
Chứng minh:

Xét hai tam giác AHC và MHD.
Ta có:AH = HM (theo giả thiết).
Góc AHC = Góc MHD (vì MX // AC nên góc AHC và góc MHD bằng nhau).
HC = HD (vì D nằm trên BC và MX // AC).
Từ đó, ta suy ra rằng:Tam giác AHC ≅ Tam giác MHD (theo tiêu chuẩn cạnh-góc-cạnh - CGC).
C. Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng
Đầu vào:

E là trung điểm của AC, F là trung điểm của DM.
Chứng minh:

Gọi O là trung điểm của đoạn BC.
Do M nằm trên tia đối của tia HA, nên M nằm bên ngoài đoạn BC và trên đường thẳng MX.
Vì E và F lần lượt là trung điểm của AC và DM, nên:Đoạn EF song song với BC (vì AC // BC).
Từ đó, E, H và F sẽ thẳng hàng vì H nằm giữa E và F, theo tính chất của các điểm trung điểm.
Như vậy, ta đã chứng minh rằng ba điểm E, H, F thẳng hàng.

Kết luận
Chúng ta đã hoàn thành các phần A, B và C của bài toán, chứng minh các tam giác và tính chất của các điểm trong tam giác ABC.