Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{2021} \) chia hết cho 4, ta sẽ sử dụng công thức tổng cấp số nhân và kiến thức về chia hết

Tổng của một cấp số nhân có \( n \) hạng là:

\[
S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Áp dụng vào bài toán này, tổng \( A \) có \( 2022 \) hạng (từ \( 3^0 \) đến \( 3^{2021} \)):

\[
A = \sum_{k=0}^{2021} 3^k = \frac{1 \cdot (3^{2022} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{2022} - 1}{2}
\]

Vậy, \( A = \frac{3^{2022} - 1}{2} \).

Chúng ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 4, tức là chứng minh rằng \( \frac{3^{2022} - 1}{2} \) chia hết cho 4.

Điều này tương đương với việc chứng minh rằng \( 3^{2022} - 1 \) chia hết cho 8 (vì khi chia cho 2, kết quả phải là chia hết cho 4).

Để làm điều này, ta cần xem xét giá trị của \( 3^n \) theo mô-đun 8, tức là xét \( 3^n \mod 8 \).

Ta tính giá trị của \( 3^n \mod 8 \) cho các \( n \) nhỏ và tìm quy luật:

- \( 3^1 = 3 \), nên \( 3^1 \mod 8 = 3 \),
- \( 3^2 = 9 \), nên \( 3^2 \mod 8 = 1 \),
- \( 3^3 = 27 \), nên \( 3^3 \mod 8 = 3 \),
- \( 3^4 = 81 \), nên \( 3^4 \mod 8 = 1 \).

Như vậy, \( 3^n \mod 8 \) tuần hoàn với chu kỳ 2: \( 3, 1, 3, 1, \dots \).

- Nếu \( n \) lẻ, \( 3^n \mod 8 = 3 \),
- Nếu \( n \) chẵn, \( 3^n \mod 8 = 1 \).

Vì \( 2022 \) là số chẵn, ta có:

\[
3^{2022} \mod 8 = 1
\]

Vậy:

\[
3^{2022} - 1 \mod 8 = 1 - 1 = 0
\]

Điều này chứng tỏ rằng \( 3^{2022} - 1 \) chia hết cho 8.

Vì \( 3^{2022} - 1 \) chia hết cho 8, ta có:

\[
\frac{3^{2022} - 1}{2}
\]

chia hết cho 4.

Do đó, \( A = \frac{3^{2022} - 1}{2} \) chia hết cho 4. Vậy \( A \) chia hết cho 4. \( \boxed{\text{Chứng minh xong.}} \)

...Xem thêm

Answer 2