4.2 (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB<AC, đường cao AH(H∈BC). Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ M kẻ MI⊥AH tại I và kẻ MD⊥CH tại D.
a) Chứng minh tứ giác MIHD là hình chữ nhật;
b) Chứng minh △AMI=△MCD và tứ giác AMDI là hình bình hành;
c) Gọi O giao điểm của AD và MI. Qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng AD và cắt đường thẳng CD tại điểm K. Chứng minh MH=OK.
Quảng cáo
1 câu trả lời 916
Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán hình học này, ta sẽ làm từng phần một.
a) Chứng minh tứ giác MIHD là hình chữ nhật
Chứng minh:
1. MI ⊥ AH: Bởi vì MI là đường vuông góc với AH.
2. MD ⊥ CH: Bởi vì MD là đường vuông góc với CH.
3. AH là đường cao của tam giác ABC:=> góc AMI = 90° và góc AMD = 90°.
Do đó, trong tứ giác MIHD có:
- MI ⊥ AH
- MD ⊥ CH
Từ đó, suy ra rằng tứ giác MIHD có các cặp cạnh vuông góc với nhau, nên MIHD là hình chữ nhật.
b) Chứng minh △AMI = △MCD và tứ giác AMDI là hình bình hành
Chứng minh:
1. Chứng minh △AMI = △MCD:
- AM = MC: M là trung điểm của đoạn thẳng AC.
- MI = MD: Do MI và MD đều vuông góc với AH và CH, và điểm I, D nằm trên các đường vuông góc với AH và CH, nên MI = MD (cạnh đối diện của hình chữ nhật MIHD).
- Góc AMI = Góc MCD: Cả hai góc này đều bằng 90°.
Áp dụng tiêu chuẩn cạnh - cạnh - góc (CCG) trong hai tam giác, ta có:
△AMI≅△MCD
2. Chứng minh tứ giác AMDI là hình bình hành:
- Ta có AM=MC (do M là trung điểm).
- Ta cũng đã chứng minh MI=MD.
- Hơn nữa, AI và CD đều là các đường cao, tức là cùng vuông góc với AH và CH.
Vậy, AM=CD và MI=AD. Do đó, tứ giác AMDI là hình bình hành.
c) Chứng minh MH = OK
Chứng minh:
1. Gọi O là giao điểm của AD và MI.
2. Vì kẻ đường thẳng song song với AD từ M và cắt CD tại K, theo tính chất của đường song song, có:
- MH∥OK
- MI∥AD
3. Do đó, các tam giác △MHI và △OKI là hai tam giác đồng dạng.
4. Vì O nằm trên đường thẳng AD, ta có thể sử dụng tính chất đồng dạng:
MHOK=MIAD
Do MI là cạnh vuông góc với AH và AD (cùng nằm trong hai tam giác đồng dạng), suy ra MH=OK.
Kết luận
- Tứ giác MIHD là hình chữ nhật.
- △AMI = △MCD và tứ giác AMDI là hình bình hành.
- Cuối cùng, ta chứng minh được rằng MH=OK.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
15605
-
7448