Ta viết lại phương trình:
\[
xy + y - 2x + 1 = 0
\]

\[
y(x + 1) - 2x + 1 = 0
\]

Ta có thể giải phương trình theo \( y \):
\[
y(x + 1) = 2x - 1
\]
\[
y = \frac{2x - 1}{x + 1}
\]

Để \( y \) là số nguyên, thì \( 2x - 1 \) phải chia hết cho \( x + 1 \). Ta cần tìm các giá trị \( x \) sao cho điều này xảy ra.

\[
2x - 1 = (x + 1) \cdot k + r
\]
với \( k \) là thương và \( r \) là số dư. Sử dụng thuật toán chia, ta có:
1. \( k = 2 \)
2. \( r = 2x - 1 - 2(x + 1) = 2x - 1 - 2x - 2 = -3 \)

Vậy:
\[
2x - 1 = (x + 1) \cdot 2 - 3
\]
Điều này có nghĩa là \( 2x - 1 + 3 \) phải chia hết cho \( x + 1 \):
\[
2x + 2 \text{ phải chia hết cho } x + 1.
\]
Suy ra:
\[
2(x + 1) \text{ chia hết cho } x + 1.
\]
Điều này luôn đúng, vì vậy, chúng ta chỉ cần tìm các \( x \) sao cho \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) là số nguyên.

- Nếu \( x = -2 \):
\[
y = \frac{2(-2) - 1}{-2 + 1} = \frac{-4 - 1}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5
\]
Cặp \( (-2, 5) \).

- Nếu \( x = -1 \):
\[
y = \frac{2(-1) - 1}{-1 + 1} \quad \text{(không xác định)}
\]

- Nếu \( x = 0 \):
\[
y = \frac{2(0) - 1}{0 + 1} = -1
\]
Cặp \( (0, -1) \).

- Nếu \( x = 1 \):
\[
y = \frac{2(1) - 1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \quad \text{(không nguyên)}
\]

- Nếu \( x = 2 \):
\[
y = \frac{2(2) - 1}{2 + 1} = \frac{4 - 1}{3} = 1
\]
Cặp \( (2, 1) \).

- Nếu \( x = 3 \):
\[
y = \frac{2(3) - 1}{3 + 1} = \frac{6 - 1}{4} = \frac{5}{4} \quad \text{(không nguyên)}
\]

- Nếu \( x = 4 \):
\[
y = \frac{2(4) - 1}{4 + 1} = \frac{8 - 1}{5} = \frac{7}{5} \quad \text{(không nguyên)}
\]

Sau khi thử với các giá trị nguyên khác nhau, ta có các cặp số nguyên sau thỏa mãn phương trình:

- \( (-2, 5) \)
- \( (0, -1) \)
- \( (2, 1) \)

Vậy, tất cả các cặp số nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình là:
\[
(-2, 5), (0, -1), (2, 1)
\]