Để giải bài toán liên quan đến tam giác vuông và các đường cao, ta sẽ làm từng phần một.

### a. Vẽ hình hoàn chỉnh

Đầu tiên, ta vẽ tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $AB$ là cạnh đứng, $AC$ là cạnh nằm ngang. Đường cao $AH$ hạ từ $A$ xuống cạnh $BC$.

**Hình vẽ:**
- Vẽ tam giác vuông $ABC$ tại $A$.
- Kẻ đường cao $AH$ từ $A$ xuống $BC$.
- Kẻ $HE$ vuông góc với $AB$ và $HF$ vuông góc với $AC$.


### b. Chứng minh: $AEHF$ là hình chữ nhật

Để chứng minh $AEHF$ là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng:

- $AE \parallel HF$ và $AH \parallel EF$
- $AE \perp HE$ và $HF \perp AH$

- $HE$ vuông góc với $AB$ ⇒ $AE \parallel HF$ (vì cả hai đều vuông góc với $AB$)
- $HF$ vuông góc với $AC$ ⇒ $AH \parallel EF$ (vì cả hai đều vuông góc với $AC$)

Vì vậy, $AEHF$ là hình chữ nhật.

### c. Chứng minh $AH = EF$

Để chứng minh $AH = EF$, ta có thể sử dụng tính chất của các tam giác vuông.

Trong tam giác vuông $ABC$, $AH$ là đường cao. Ta có:

$AH = HE + HF$

Do $HE$ và $HF$ đều là đường cao từ các đỉnh của tam giác vuông $ABC$ xuống các cạnh đối diện. Do đó, ta có:

$AH = EF$

### d. Chứng minh $OM \perp AB$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Để chứng minh $OM \perp AB$, ta cần chứng minh rằng góc $OMA$ là góc vuông.

- Từ điểm $O$ (giao điểm của $AH$ và $EF$), vẽ đường thẳng $OM$ tới điểm giữa $BC$.

Theo tính chất của đường cao trong tam giác vuông, ta có:

$OM \perp AB$

Vì $O$ nằm trên đường cao $AH$, do đó tạo thành góc vuông với $AB$.

### Kết luận

- $AEHF$ là hình chữ nhật.
- $AH = EF$.
- $OM \perp AB$.

Nếu bạn cần thêm chi tiết nào hoặc hình vẽ cụ thể hơn, hãy cho tôi biết nhé!