Để chứng minh rằng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 2, 3 và 5, ta sẽ tính giá trị của \( A \) và kiểm tra tính chia hết.

### Bước 1: Tính giá trị của \( A \)

Bài toán có dạng cấp số nhân, với công bội \( q = 2 \) và số hạng đầu \( a = 2 \).

Số hạng cuối là \( 2^{20} \), ta có tổng của \( n \) số hạng:

\[
A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{19})
\]

Tổng của cấp số nhân có thể tính bằng công thức:

\[
S_n = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1}
\]

Ở đây \( n = 19 \) (số hạng từ \( 2^1 \) đến \( 2^{20} \)), \( a = 1 \), \( q = 2 \):

\[
S = \frac{1(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2^{20} - 1
\]

Do đó, ta có:

\[
A = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

### Bước 2: Kiểm tra tính chia hết

**1. Chia hết cho 2:**

Dễ dàng nhận thấy:

\[
A = 2^{21} - 2
\]

Tổng này hiển nhiên chia hết cho 2, vì có yếu tố 2.

**2. Chia hết cho 3:**

Ta cần tính \( A \mod 3 \):

\[
2 \equiv 2 \mod 3
\]
\[
2^2 \equiv 1 \mod 3
\]
\[
2^3 \equiv 2 \mod 3
\]
\[
2^4 \equiv 1 \mod 3
\]

Ta thấy rằng \( 2^n \mod 3 \) có chu kỳ 2: \( 2, 1, 2, 1, \ldots \)

Từ đó, tổng \( A \) được chia thành hai nhóm:

- Nhóm \( n \) lẻ: \( 2^1, 2^3, \ldots, 2^{19} \) (10 số hạng) => Tổng = \( 10 \cdot 2 \equiv 20 \equiv 2 \mod 3 \)
- Nhóm \( n \) chẵn: \( 2^2, 2^4, \ldots, 2^{20} \) (10 số hạng) => Tổng = \( 10 \cdot 1 \equiv 10 \equiv 1 \mod 3 \)

Tổng:

\[
A \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 3
\]

Vậy \( A \) chia hết cho 3.

**3. Chia hết cho 5:**

Tính \( A \mod 5 \):

\[
2^1 \equiv 2 \mod 5
\]
\[
2^2 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
2^3 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
2^4 \equiv 1 \mod 5
\]

Ta thấy rằng \( 2^n \mod 5 \) có chu kỳ 4: \( 2, 4, 3, 1 \).

Số hạng trong tổng là 20, chia thành 5 chu kỳ:

- Mỗi chu kỳ có tổng \( 2 + 4 + 3 + 1 = 10 \equiv 0 \mod 5 \).

Vậy tổng 5 chu kỳ cũng chia hết cho 5.

### Kết luận

Vậy, \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \) chia hết cho 2, 3 và 5.

Dưới đây là cách giải từng biểu thức mà bạn đã đưa ra:

### 1. \((5x - 3)(x - 2) + 5x^2\)
\[
(5x - 3)(x - 2) = 5x^2 - 10x - 3x + 6 = 5x^2 - 13x + 6
\]
\[
(5x^2 - 13x + 6) + 5x^2 = 10x^2 - 13x + 6
\]

### 2. \((x - 2)x - (3x - 1)(x + 2)\)
\[
(x - 2)x = x^2 - 2x
\]
\[
(3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2
\]
\[
(x^2 - 2x) - (3x^2 + 5x - 2) = x^2 - 2x - 3x^2 - 5x + 2 = -2x^2 - 7x + 2
\]

### 3. \((2x - 3)(2 + x) - 4x^2\)
\[
(2x - 3)(2 + x) = 2x^2 + 2x - 6 - 3x = 2x^2 - x - 6
\]
\[
(2x^2 - x - 6) - 4x^2 = -2x^2 - x - 6
\]

### 4. \((5x - 2)4 - (x - 3)(2 + x)\)
\[
(5x - 2)4 = 20x - 8
\]
\[
(x - 3)(2 + x) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6
\]
\[
(20x - 8) - (x^2 - x - 6) = 20x - 8 - x^2 + x + 6 = -x^2 + 21x - 2
\]

### 5. \(3(6x^2 - 5) - x(x + 7)\)
\[
3(6x^2 - 5) = 18x^2 - 15
\]
\[
x(x + 7) = x^2 + 7x
\]
\[
(18x^2 - 15) - (x^2 + 7x) = 18x^2 - 15 - x^2 - 7x = 17x^2 - 7x - 15
\]

### 6. \(6x(x - 4) + (2 + 3x)(x - 2)\)
\[
6x(x - 4) = 6x^2 - 24x
\]
\[
(2 + 3x)(x - 2) = 2x - 4 + 3x^2 - 6x = 3x^2 - 4x - 4
\]
\[
(6x^2 - 24x) + (3x^2 - 4x - 4) = 9x^2 - 28x - 4
\]

### 7. \(2(x^2 + 4) - (x - 2)(x + 3)\)
\[
2(x^2 + 4) = 2x^2 + 8
\]
\[
(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6
\]
\[
(2x^2 + 8) - (x^2 + x - 6) = 2x^2 + 8 - x^2 - x + 6 = x^2 - x + 14
\]

### 8. \(x(x^2 - 4) + (x^2 - 1)(x - 3)\)
\[
x(x^2 - 4) = x^3 - 4x
\]
\[
(x^2 - 1)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - x + 3
\]
\[
(x^3 - 4x) + (x^3 - 3x^2 - x + 3) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 3
\]

### 9. \(4(x - 1) + (3 - x)(x - 5)\)
\[
4(x - 1) = 4x - 4
\]
\[
(3 - x)(x - 5) = 3x - 15 - x^2 + 5x = -x^2 + 8x - 15
\]
\[
(4x - 4) + (-x^2 + 8x - 15) = -x^2 + 12x - 19
\]

### 10. \(5(x^2 - 3) - (x + 4)(x - 2)\)
\[
5(x^2 - 3) = 5x^2 - 15
\]
\[
(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8
\]
\[
(5x^2 - 15) - (x^2 + 2x - 8) = 4x^2 - 17 - 2x + 8 = 4x^2 - 2x - 7
\]

### 11. \(6(3x - 7) + (x - 5)(3x + 4)\)
\[
6(3x - 7) = 18x - 42
\]
\[
(x - 5)(3x + 4) = 3x^2 + 4x - 15x - 20 = 3x^2 - 11x - 20
\]
\[
(18x - 42) + (3x^2 - 11x - 20) = 3x^2 + 7x - 62
\]

### 12. \(2x(4x - 3) - (x + 1)(2 - x)\)
\[
2x(4x - 3) = 8x^2 - 6x
\]
\[
(x + 1)(2 - x) = 2x - x^2 + 2 - x = -x^2 + x + 2
\]
\[
(8x^2 - 6x) - (-x^2 + x + 2) = 8x^2 - 6x + x^2 - x - 2 = 9x^2 - 7x - 2
\]

Tóm lại, kết quả của từng biểu thức là:
1. \(10x^2 - 13x + 6\)
2. \(-2x^2 - 7x + 2\)
3. \(-2x^2 - x - 6\)
4. \(-x^2 + 21x - 2\)
5. \(17x^2 - 7x - 15\)
6. \(9x^2 - 28x - 4\)
7. \(x^2 - x + 14\)
8. \(2x^3 - 3x^2 - 5x + 3\)
9. \(-x^2 + 12x - 19\)
10. \(4x^2 - 2x - 7\)
11. \(3x^2 + 7x - 62\)
12. \(9x^2 - 7x - 2\)

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc giúp đỡ gì khác, hãy cho tôi biết!