Để chứng minh rằng $A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20}$ chia hết cho 2, 3 và 5, ta sẽ tính giá trị của $A$ và kiểm tra tính chia hết.

### Bước 1: Tính giá trị của $A$

Bài toán có dạng cấp số nhân, với công bội $q = 2$ và số hạng đầu $a = 2$.

Số hạng cuối là $2^{20}$, ta có tổng của $n$ số hạng:

$A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} = 2(1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{19})$

Tổng của cấp số nhân có thể tính bằng công thức:

$S_n = \frac{a(q^n - 1)}{q - 1}$

Ở đây $n = 19$ (số hạng từ $2^1$ đến $2^{20}$), $a = 1$, $q = 2$:

$S = \frac{1(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2^{20} - 1$

Do đó, ta có:

$A = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2$

### Bước 2: Kiểm tra tính chia hết

**1. Chia hết cho 2:**

Dễ dàng nhận thấy:

$A = 2^{21} - 2$

Tổng này hiển nhiên chia hết cho 2, vì có yếu tố 2.

**2. Chia hết cho 3:**

Ta cần tính $A \mod 3$:

$2 \equiv 2 \mod 3$
$2^2 \equiv 1 \mod 3$
$2^3 \equiv 2 \mod 3$
$2^4 \equiv 1 \mod 3$

Ta thấy rằng $2^n \mod 3$ có chu kỳ 2: $2, 1, 2, 1, \ldots$

Từ đó, tổng $A$ được chia thành hai nhóm:

- Nhóm $n$ lẻ: $2^1, 2^3, \ldots, 2^{19}$ (10 số hạng) => Tổng = $10 \cdot 2 \equiv 20 \equiv 2 \mod 3$
- Nhóm $n$ chẵn: $2^2, 2^4, \ldots, 2^{20}$ (10 số hạng) => Tổng = $10 \cdot 1 \equiv 10 \equiv 1 \mod 3$

Tổng:

$A \equiv 2 + 1 \equiv 0 \mod 3$

Vậy $A$ chia hết cho 3.

**3. Chia hết cho 5:**

Tính $A \mod 5$:

$2^1 \equiv 2 \mod 5$
$2^2 \equiv 4 \mod 5$
$2^3 \equiv 3 \mod 5$
$2^4 \equiv 1 \mod 5$

Ta thấy rằng $2^n \mod 5$ có chu kỳ 4: $2, 4, 3, 1$.

Số hạng trong tổng là 20, chia thành 5 chu kỳ:

- Mỗi chu kỳ có tổng $2 + 4 + 3 + 1 = 10 \equiv 0 \mod 5$.

Vậy tổng 5 chu kỳ cũng chia hết cho 5.

### Kết luận

Vậy, $A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20}$ chia hết cho 2, 3 và 5.

Dưới đây là cách giải từng biểu thức mà bạn đã đưa ra:

### 1. $(5x - 3)(x - 2) + 5x^2$
$(5x - 3)(x - 2) = 5x^2 - 10x - 3x + 6 = 5x^2 - 13x + 6$
$(5x^2 - 13x + 6) + 5x^2 = 10x^2 - 13x + 6$

### 2. $(x - 2)x - (3x - 1)(x + 2)$
$(x - 2)x = x^2 - 2x$
$(3x - 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x - x - 2 = 3x^2 + 5x - 2$
$(x^2 - 2x) - (3x^2 + 5x - 2) = x^2 - 2x - 3x^2 - 5x + 2 = -2x^2 - 7x + 2$

### 3. $(2x - 3)(2 + x) - 4x^2$
$(2x - 3)(2 + x) = 2x^2 + 2x - 6 - 3x = 2x^2 - x - 6$
$(2x^2 - x - 6) - 4x^2 = -2x^2 - x - 6$

### 4. $(5x - 2)4 - (x - 3)(2 + x)$
$(5x - 2)4 = 20x - 8$
$(x - 3)(2 + x) = x^2 + 2x - 3x - 6 = x^2 - x - 6$
$(20x - 8) - (x^2 - x - 6) = 20x - 8 - x^2 + x + 6 = -x^2 + 21x - 2$

### 5. $3(6x^2 - 5) - x(x + 7)$
$3(6x^2 - 5) = 18x^2 - 15$
$x(x + 7) = x^2 + 7x$
$(18x^2 - 15) - (x^2 + 7x) = 18x^2 - 15 - x^2 - 7x = 17x^2 - 7x - 15$

### 6. $6x(x - 4) + (2 + 3x)(x - 2)$
$6x(x - 4) = 6x^2 - 24x$
$(2 + 3x)(x - 2) = 2x - 4 + 3x^2 - 6x = 3x^2 - 4x - 4$
$(6x^2 - 24x) + (3x^2 - 4x - 4) = 9x^2 - 28x - 4$

### 7. $2(x^2 + 4) - (x - 2)(x + 3)$
$2(x^2 + 4) = 2x^2 + 8$
$(x - 2)(x + 3) = x^2 + 3x - 2x - 6 = x^2 + x - 6$
$(2x^2 + 8) - (x^2 + x - 6) = 2x^2 + 8 - x^2 - x + 6 = x^2 - x + 14$

### 8. $x(x^2 - 4) + (x^2 - 1)(x - 3)$
$x(x^2 - 4) = x^3 - 4x$
$(x^2 - 1)(x - 3) = x^3 - 3x^2 - x + 3$
$(x^3 - 4x) + (x^3 - 3x^2 - x + 3) = 2x^3 - 3x^2 - 5x + 3$

### 9. $4(x - 1) + (3 - x)(x - 5)$
$4(x - 1) = 4x - 4$
$(3 - x)(x - 5) = 3x - 15 - x^2 + 5x = -x^2 + 8x - 15$
$(4x - 4) + (-x^2 + 8x - 15) = -x^2 + 12x - 19$

### 10. $5(x^2 - 3) - (x + 4)(x - 2)$
$5(x^2 - 3) = 5x^2 - 15$
$(x + 4)(x - 2) = x^2 - 2x + 4x - 8 = x^2 + 2x - 8$
$(5x^2 - 15) - (x^2 + 2x - 8) = 4x^2 - 17 - 2x + 8 = 4x^2 - 2x - 7$

### 11. $6(3x - 7) + (x - 5)(3x + 4)$
$6(3x - 7) = 18x - 42$
$(x - 5)(3x + 4) = 3x^2 + 4x - 15x - 20 = 3x^2 - 11x - 20$
$(18x - 42) + (3x^2 - 11x - 20) = 3x^2 + 7x - 62$

### 12. $2x(4x - 3) - (x + 1)(2 - x)$
$2x(4x - 3) = 8x^2 - 6x$
$(x + 1)(2 - x) = 2x - x^2 + 2 - x = -x^2 + x + 2$
$(8x^2 - 6x) - (-x^2 + x + 2) = 8x^2 - 6x + x^2 - x - 2 = 9x^2 - 7x - 2$

Tóm lại, kết quả của từng biểu thức là:
1. $10x^2 - 13x + 6$
2. $-2x^2 - 7x + 2$
3. $-2x^2 - x - 6$
4. $-x^2 + 21x - 2$
5. $17x^2 - 7x - 15$
6. $9x^2 - 28x - 4$
7. $x^2 - x + 14$
8. $2x^3 - 3x^2 - 5x + 3$
9. $-x^2 + 12x - 19$
10. $4x^2 - 2x - 7$
11. $3x^2 + 7x - 62$
12. $9x^2 - 7x - 2$

Nếu bạn cần thêm thông tin hoặc giúp đỡ gì khác, hãy cho tôi biết!