Dưới đây là cách giải cho các bài toán bạn đã đưa ra:

### Bài 1: Tìm số chính phương \( n \) có ba chữ số và chia hết cho 54.

**Giải:**
Số chính phương có dạng \( n = k^2 \) với \( k \) là số nguyên. Số \( n \) có ba chữ số nên:
\[
10 \leq k^2 < 1000 \implies 4 \leq k < 32
\]
Số chia hết cho 54 phải chia hết cho cả 2 và 27 (tức là \( 2 \times 27 \)).

1. Số chính phương chia hết cho 2 phải có dạng \( k^2 \) là số chẵn, tức là \( k \) phải chẵn. Các giá trị chẵn trong khoảng \( 4 \leq k < 32 \) là: \( 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 \).
2. Để \( k^2 \) chia hết cho 27, \( k \) phải chia hết cho 9. Các giá trị chẵn thỏa mãn là \( 18 \) và \( 24 \).
3. Tính số chính phương:
- \( k = 18 \) thì \( n = 18^2 = 324 \) (ba chữ số và chia hết cho 54).
- \( k = 24 \) thì \( n = 24^2 = 576 \) (ba chữ số và chia hết cho 54).

Vậy các số chính phương \( n \) có ba chữ số và chia hết cho 54 là **324** và **576**.

---

### Bài 2: Cho tổng \( H = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 52024 \). Hỏi \( H + 1 \) có phải là số chính phương hay không? Vì sao?

**Giải:**
- \( H \) là tổng của dãy số: \( 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 52024 \).
- Dễ thấy dãy này là tổng các số lẻ từ 1 đến 52024. Số lượng các số này có thể được tính bằng cách lấy số hạng đầu \( 1 \) và số hạng cuối \( 52024 \).

Số lượng số lẻ từ \( 1 \) đến \( 52024 \) là:
\[
n = \frac{52024 - 1}{2} + 1 = 26012
\]
Tổng của các số lẻ đầu tiên là:
\[
H = n^2 = (26012)^2
\]
Vậy \( H + 1 = (26012)^2 + 1 \) không phải là số chính phương, vì số chính phương không có dạng \( x^2 + 1 \).

---

### Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho \( 4n + 15 \) là số chính phương.

**Giải:**
Gọi \( 4n + 15 = k^2 \) với \( k \) là số nguyên dương.
\[
4n = k^2 - 15 \implies n = \frac{k^2 - 15}{4}
\]
Để \( n \) là số tự nhiên, \( k^2 - 15 \) phải chia hết cho 4.
- Xét \( k^2 \mod 4 \):
- Nếu \( k \equiv 0 \mod 4 \), \( k^2 \equiv 0 \mod 4 \) → \( k^2 - 15 \equiv 1 \mod 4 \) (không chia hết).
- Nếu \( k \equiv 1 \mod 4 \), \( k^2 \equiv 1 \mod 4 \) → \( k^2 - 15 \equiv 2 \mod 4 \) (không chia hết).
- Nếu \( k \equiv 2 \mod 4 \), \( k^2 \equiv 0 \mod 4 \) → \( k^2 - 15 \equiv 1 \mod 4 \) (không chia hết).
- Nếu \( k \equiv 3 \mod 4 \), \( k^2 \equiv 1 \mod 4 \) → \( k^2 - 15 \equiv 2 \mod 4 \) (không chia hết).

Vậy không có \( n \) nào thỏa mãn điều kiện.

---

### Bài 4: Chứng minh rằng tổng của ba số chính phương lẻ thì không thể là một số chính phương.

**Giải:**
Gọi ba số chính phương lẻ là \( a^2, b^2, c^2 \) với \( a, b, c \) là số lẻ.

Tổng của ba số này là:
\[
S = a^2 + b^2 + c^2
\]
Số bình phương của một số lẻ luôn có dạng:
\[
\text{Số lẻ}^2 \equiv 1 \mod 4
\]
Vậy:
\[
S \equiv 1 + 1 + 1 \equiv 3 \mod 4
\]
Tuy nhiên, một số chính phương phải có dạng \( 0 \) hoặc \( 1 \mod 4 \).

Do đó, tổng của ba số chính phương lẻ không thể là một số chính phương.

---

### Bài 5: Tính tổng sau đây một cách hợp lý: \( 1 + (-2) + 3 + (-4) + ... + 2021 + (-2022) + 2023 \)

**Giải:**
- Tính tổng các số dương và âm riêng biệt.
- Số dương: \( 1 + 3 + 5 + \ldots + 2023 \)
- Tổng số dương có dạng: \( 1 + 3 + 5 + \ldots + 2023 = \frac{n(n + 1)}{2} \) với \( n = 1012 \).

Tổng số dương là:
\[
\text{Tổng dương} = 1012^2 = 1024144
\]

- Số âm: \( -2 - 4 - 6 - \ldots - 2022 \)
- Tổng số âm là: \( -2(1 + 2 + 3 + \ldots + 1011) = -2 \cdot \frac{1011 \cdot 1012}{2} = -1011 \cdot 1012 = -1023232 \).

Tổng:
\[
S = 1024144 - 1023232 = 9112
\]

---

### Bài 6: Cho \( A = (-14; 21; -23; 34; 19; 0) \). Tìm \( x, y \) thuộc \( A \), \( x \) và \( y \) khác nhau sao cho:

1) Tổng \( x + y \) đạt giá trị lớn nhất.
2) Tổng \( x + y \) đạt giá trị nhỏ nhất.

**Giải:**
1. **Giá trị lớn nhất**:
- Hai số lớn nhất trong \( A \) là \( 34 \) và \( 21 \).
- Tổng lớn nhất: \( 34 + 21 = 55 \).

2. **Giá trị nhỏ nhất**:
- Hai số nhỏ nhất là \( -23 \) và \( -14 \).
- Tổng nhỏ nhất: \( -23 + (-14) = -37 \).

---

### Bài 7: Tìm các số nguyên \( x, y \) thỏa mãn \( (x^2 - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0 \).

**Giải:**
Vì tổng hai bình phương không âm bằng 0 chỉ khi cả hai bình phương đều bằng 0.

1. \( (x^2 - 1)^2 = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ hoặc } x = -1 \).
2. \( (y + 3)^2 = 0 \implies y + 3 = 0 \implies y = -3 \).

Vậy các cặp \( (x, y) \) là \( (1, -3) \) và \( (-1, -3) \).

---

### Bài 8: Cho 16 số nguyên. Trong đó tích của 3 số bất kỳ là một số âm. Chứng minh rằng tích của 16 số đó là số dương.

**Giải:**
- Tích của 3 số bất kỳ âm chứng tỏ có ít nhất một số lẻ trong số 16 số đó.
- Gọi \( n \) là số lượng số âm trong 16 số.
- Nếu \( n \) lẻ, thì tích của tất cả các số sẽ là âm.
- Nếu \( n \) chẵn, thì tích của tất cả số sẽ là dương.

Tuy nhiên, có ít nhất một số âm trong nhóm 3 số