Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng tổng \( A = 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{2021} \) chia hết cho 4, ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân.

### Bước 1: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân
Tổng \( A \) có thể viết lại bằng công thức tổng cấp số nhân:
\[
A = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
\]
Trong đó:
- \( a = 1 \) (hạng tử đầu tiên),
- \( r = 3 \) (công bội),
- \( n = 2022 \) (số hạng).

Áp dụng công thức, ta có:
\[
A = \frac{1(1 - 3^{2022})}{1 - 3} = \frac{1 - 3^{2022}}{-2} = \frac{3^{2022} - 1}{2}
\]

### Bước 2: Chứng minh \( 3^{2022} - 1 \) chia hết cho 8
Để chứng minh \( A \) chia hết cho 4, trước tiên cần chứng minh rằng \( 3^{2022} - 1 \) chia hết cho 8.

Ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ, trong đó cho biết rằng \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \) với \( p \) là số nguyên tố.

Vì \( 3^2 = 9 \equiv 1 \mod 8 \), nên:
\[
3^{2022} = (3^2)^{1011} \equiv 1^{1011} \equiv 1 \mod 8
\]
=> \( 3^{2022} - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 8 \).

### Bước 3: Kết luận
Từ đây, ta có:
\[
3^{2022} - 1 = 8k \text{ (với k là một số nguyên)}
\]
Suy ra:
\[
A = \frac{3^{2022} - 1}{2} = \frac{8k}{2} = 4k
\]
=> \( A \) chia hết cho 4.

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tổng \( A = 1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^{2021} \) chia hết cho 4.

...Xem thêm

Answer 2