Để giải bài toán này, ta có các điều kiện sau:

1. \( x_1 + x_2 + \ldots + x_{100} = 99 \)
2. \( x_1 + x_2 + x_3 = x_2 + x_3 + x_4 = \ldots = x_{98} + x_{99} + x_{100} = 3 \)

Gọi \( S_k = x_k + x_{k+1} + x_{k+2} \) với \( k = 1, 2, \ldots, 98 \). Theo điều kiện, ta có:

\[
S_1 = S_2 = S_3 = \ldots = S_{98} = 3
\]

Từ đó, ta có thể viết:

\[
S_1 = x_1 + x_2 + x_3 = 3
\]
\[
S_2 = x_2 + x_3 + x_4 = 3
\]

Khi trừ \( S_1 \) khỏi \( S_2 \):

\[
(x_2 + x_3 + x_4) - (x_1 + x_2 + x_3) = 3 - 3
\]

Suy ra:

\[
x_4 - x_1 = 0 \implies x_4 = x_1
\]

Lặp lại quá trình này cho các giá trị tiếp theo, ta có:

\[
x_5 = x_2, \quad x_6 = x_3, \quad x_7 = x_1, \quad x_8 = x_2, \quad x_9 = x_3, \ldots
\]

Cách sắp xếp này cho thấy rằng các số \( x_k \) có dạng tuần hoàn. Cụ thể, ta có:

- \( x_1 = x_4 = x_7 = x_{10} = \ldots = x_{100} \) (có 34 số, tương ứng với các chỉ số 1, 4, 7, ..., 100)
- \( x_2 = x_5 = x_8 = \ldots = x_{99} \) (có 33 số)
- \( x_3 = x_6 = x_9 = \ldots = x_{98} \) (có 33 số)

Gọi \( x_1 = a \), \( x_2 = b \), \( x_3 = c \). Ta có:

\[
34a + 33b + 33c = 99
\]

Và từ điều kiện về tổng ba phần tử:

\[
a + b + c = 3
\]

Giải hệ phương trình này:

1. Từ phương trình thứ hai, có thể viết \( c = 3 - a - b \).
2. Thay vào phương trình thứ nhất:

\[
34a + 33b + 33(3 - a - b) = 99
\]
\[
34a + 33b + 99 - 33a - 33b = 99
\]
\[
a = 0
\]

Thay \( a = 0 \) vào phương trình thứ hai:

\[
0 + b + c = 3 \implies b + c = 3
\]

Từ đó, \( b \) và \( c \) có thể nhận giá trị nguyên không âm thỏa mãn \( b + c = 3 \). Các khả năng là:

- \( (b, c) = (0, 3) \)
- \( (b, c) = (1, 2) \)
- \( (b, c) = (2, 1) \)
- \( (b, c) = (3, 0) \)

Kết quả là các bộ số \( (a, b, c) \) là:

1. \( (0, 0, 3) \)
2. \( (0, 1, 2) \)
3. \( (0, 2, 1) \)
4. \( (0, 3, 0) \)

Từ đó, ta tìm được các bộ số nguyên \( (x_1, x_2, x_3) \):

1. \( (0, 0, 3) \): \( x_k = 0 \) với \( k \equiv 1 \mod 3 \); \( x_k = 3 \) với \( k \equiv 0 \mod 3 \).
2. \( (0, 1, 2) \): \( x_k = 0 \) với \( k \equiv 1 \mod 3 \); \( x_k = 1 \) với \( k \equiv 2 \mod 3 \); \( x_k = 2 \) với \( k \equiv 0 \mod 3 \).
3. \( (0, 2, 1) \): \( x_k = 0 \) với \( k \equiv 1 \mod 3 \); \( x_k = 2 \) với \( k \equiv 2 \mod 3 \); \( x_k = 1 \) với \( k \equiv 0 \mod 3 \).
4. \( (0, 3, 0) \): \( x_k = 0 \) với \( k \equiv 1 \mod 3 \); \( x_k = 3 \) với \( k \equiv 2 \mod 3 \).

Tóm lại, các bộ số nguyên thỏa mãn đều có dạng tuần hoàn theo quy tắc trên, với các giá trị cụ thể cho \( a \), \( b \), và \( c \) như đã nêu.