Tìm tất cả các số nguyên x1 , x2 ,··· , x100 thỏa mãn x1 + x2 + ··· + x100 = 99 và x1 + x2 + x3 = x2 + x3 + x4 = x3 + x4 + x5 = x4 + x5 + x6 =···= x98 + x99 + x100 =3.
Quảng cáo
1 câu trả lời 156
Để giải bài toán này, ta có các điều kiện sau:
1. x1+x2+…+x100=99
2. x1+x2+x3=x2+x3+x4=…=x98+x99+x100=3
Gọi Sk=xk+xk+1+xk+2 với k=1,2,…,98. Theo điều kiện, ta có:
S1=S2=S3=…=S98=3
Từ đó, ta có thể viết:
S1=x1+x2+x3=3
S2=x2+x3+x4=3
Khi trừ S1 khỏi S2:
(x2+x3+x4)−(x1+x2+x3)=3−3
Suy ra:
x4−x1=0⟹x4=x1
Lặp lại quá trình này cho các giá trị tiếp theo, ta có:
x5=x2,x6=x3,x7=x1,x8=x2,x9=x3,…
Cách sắp xếp này cho thấy rằng các số xk có dạng tuần hoàn. Cụ thể, ta có:
- x1=x4=x7=x10=…=x100 (có 34 số, tương ứng với các chỉ số 1, 4, 7, ..., 100)
- x2=x5=x8=…=x99 (có 33 số)
- x3=x6=x9=…=x98 (có 33 số)
Gọi x1=a, x2=b, x3=c. Ta có:
34a+33b+33c=99
Và từ điều kiện về tổng ba phần tử:
a+b+c=3
Giải hệ phương trình này:
1. Từ phương trình thứ hai, có thể viết c=3−a−b.
2. Thay vào phương trình thứ nhất:
34a+33b+33(3−a−b)=99
34a+33b+99−33a−33b=99
a=0
Thay a=0 vào phương trình thứ hai:
0+b+c=3⟹b+c=3
Từ đó, b và c có thể nhận giá trị nguyên không âm thỏa mãn b+c=3. Các khả năng là:
- (b,c)=(0,3)
- (b,c)=(1,2)
- (b,c)=(2,1)
- (b,c)=(3,0)
Kết quả là các bộ số (a,b,c) là:
1. (0,0,3)
2. (0,1,2)
3. (0,2,1)
4. (0,3,0)
Từ đó, ta tìm được các bộ số nguyên (x1,x2,x3):
1. (0,0,3): xk=0 với k≡1mod3; xk=3 với k≡0mod3.
2. (0,1,2): xk=0 với k≡1mod3; xk=1 với k≡2mod3; xk=2 với k≡0mod3.
3. (0,2,1): xk=0 với k≡1mod3; xk=2 với k≡2mod3; xk=1 với k≡0mod3.
4. (0,3,0): xk=0 với k≡1mod3; xk=3 với k≡2mod3.
Tóm lại, các bộ số nguyên thỏa mãn đều có dạng tuần hoàn theo quy tắc trên, với các giá trị cụ thể cho a, b, và c như đã nêu.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
1 2995