Gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là \(d\) và \(r\).

### Bước 1: Thiết lập phương trình từ chu vi ban đầu
Chu vi của hình chữ nhật ban đầu là \(160 \, \text{cm}\):
\[
2(d + r) = 160 \implies d + r = 80 \quad \text{(1)}
\]

### Bước 2: Thiết lập phương trình từ chu vi sau khi tăng
Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng lên cùng một số đó (gọi số đó là \(x\)), chu vi của hình chữ nhật mới là \(180 \, \text{cm}\):
\[
2((d + x) + (r + x)) = 180
\]
Rút gọn:
\[
2(d + r + 2x) = 180 \implies d + r + 2x = 90
\]
Thay \(d + r = 80\) từ phương trình (1) vào:
\[
80 + 2x = 90 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \, \text{cm}
\]

### Bước 3: Tính diện tích phần tăng thêm
Phần diện tích tăng thêm là phần diện tích của hình chữ nhật mới trừ đi diện tích của hình chữ nhật ban đầu. Diện tích phần tăng thêm được tính bằng:
\[
\text{Diện tích phần tăng thêm} = (d + x)(r + x) - d \cdot r
\]
Thay \(x = 5\) vào:
\[
\text{Diện tích phần tăng thêm} = (d + 5)(r + 5) - d \cdot r
\]
Sử dụng hằng đẳng thức:
\[
= d \cdot r + 5d + 5r + 25 - d \cdot r = 5d + 5r + 25
\]
Thay \(d + r = 80\) vào:
\[
\text{Diện tích phần tăng thêm} = 5 \times 80 + 25 = 400 + 25 = 425 \, \text{cm}^2
\]

### Kết luận:
Diện tích phần tăng thêm là \(425 \, \text{cm}^2\).

Để giải bài toán này, ta có thể làm theo các bước sau:

### 1. Đặt các biến số:
- Gọi chiều dài hình chữ nhật là \( l \).
- Gọi chiều rộng hình chữ nhật là \( w \).
- Gọi số lượng tăng lên là \( x \).

### 2. Thiết lập các phương trình:
- Theo đề bài, chu vi của hình chữ nhật ban đầu là:
\[
2(l + w) = 160 \implies l + w = 80 \quad (1)
\]

- Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng lên \( x \), chu vi mới là:
\[
2((l + x) + (w + x)) = 180 \implies 2(l + w + 2x) = 180 \implies l + w + 2x = 90 \quad (2)
\]

### 3. Tìm \( x \):
- Từ phương trình (1), ta có:
\[
l + w = 80
\]
- Thay vào phương trình (2):
\[
80 + 2x = 90 \implies 2x = 10 \implies x = 5
\]

### 4. Tính chiều dài và chiều rộng:
- Từ phương trình (1), ta có:
\[
l + w = 80
\]
Có thể viết \( w = 80 - l \).

### 5. Diện tích phần tăng thêm:
- Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là:
\[
S_1 = l \cdot w = l(80 - l) = 80l - l^2
\]

- Diện tích của hình chữ nhật mới là:
\[
S_2 = (l + 5)(w + 5) = (l + 5)(80 - l + 5) = (l + 5)(85 - l)
\]
\[
= 85l - l^2 + 425 - 5l = 80l - l^2 + 425
\]

- Diện tích phần tăng thêm là:
\[
S_{tăng thêm} = S_2 - S_1 = (80l - l^2 + 425) - (80l - l^2) = 425 \, cm²
\]

### **Kết luận:**
Diện tích của phần tăng thêm là **425 cm²**.

Để giải bài toán, chúng ta cần xác định chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật, cũng như phần tăng thêm khi chúng ta tăng chiều dài và chiều rộng.

### Bước 1: Đặt biến
- Gọi chiều dài của hình chữ nhật là
L
(cm).
- Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là
W
(cm).
- Gọi số mà chúng ta đã tăng thêm cho chiều dài và chiều rộng là
x
(cm).

### Bước 2: Gọi chu vi ban đầu
Chu vi ban đầu của hình chữ nhật được cho là:
2(L+W)=160⟹L+W=80(1)

### Bước 3: Gọi chu vi mới
Sau khi tăng chiều dài và chiều rộng lên
x
, chu vi mới trở thành:
2((L+x)+(W+x))=180⟹2(L+W+2x)=180⟹L+W+2x=90(2)

### Bước 4: Giải hệ phương trình
Từ (1) ta có
L+W=80
. Thay vào (2):
80+2x=90⟹2x=10⟹x=5(3)

### Bước 5: Tính chiều dài và chiều rộng mới
Chiều dài mới và chiều rộng mới sẽ là:
L+x=L+5vàW+x=W+5

### Bước 6: Tính diện tích của phần tăng thêm
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật là:
Scũ=L×W

Diện tích của hình chữ nhật sau khi tăng thêm là:
Smới=(L+5)×(W+5)=L×W+5L+5W+25

Phần tăng thêm sẽ là:
Stăng=Smới−Scũ=(L×W+5L+5W+25)−(L×W)=5L+5W+25

Thay
L+W
từ (1) vào:
Stăng=5(L+W)+25=5×80+25=400+25=425cm2

### Kết luận
Diện tích của phần tăng thêm là
425cm2
.