Để tính diện tích sân trường, trước tiên ta cần tìm chiều dài và chiều rộng của sân trường.

### Bước 1: Thiết lập phương trình

Gọi chiều rộng của sân trường là \( x \) mét. Chiều dài sẽ là \( x + 13 \) mét.

Theo công thức chu vi hình chữ nhật, ta có:

\[
\text{Chu vi} = 2 \times (\text{chiều dài} + \text{chiều rộng}) = 142 \, \text{m}
\]

Thay các giá trị vào phương trình:

\[
2 \times ((x + 13) + x) = 142
\]

### Bước 2: Giải phương trình

Giải phương trình trên:

\[
2 \times (2x + 13) = 142
\]

Chia cả hai bên cho 2:

\[
2x + 13 = 71
\]

Giải tiếp:

\[
2x = 71 - 13
\]
\[
2x = 58
\]
\[
x = 29 \, \text{m} \quad (\text{chiều rộng})
\]

### Bước 3: Tính chiều dài

Chiều dài sẽ là:

\[
x + 13 = 29 + 13 = 42 \, \text{m}
\]

### Bước 4: Tính diện tích

Diện tích \( S \) của sân trường được tính bằng công thức:

\[
S = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng}
\]

Thay vào:

\[
S = 42 \, \text{m} \times 29 \, \text{m} = 1218 \, \text{m}^2
\]

### Kết luận

Diện tích của sân trường tiểu học Đoàn Cát là **1218 m²**.