Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 12, 18, 24 có số dư lần lượt là 10, 16, 23, ta có thể làm như sau:

Gọi số tự nhiên đó là \( x \).

Ta có các điều kiện:

1. \( x \equiv 10 \mod 12 \)
2. \( x \equiv 16 \mod 18 \)
3. \( x \equiv 23 \mod 24 \)

### Bước 1: Chuyển đổi các điều kiện

Từ điều kiện đầu tiên:
\[
x = 12k + 10 \quad (k \text{ là số nguyên})
\]

Từ điều kiện thứ hai:
\[
x = 18m + 16 \quad (m \text{ là số nguyên})
\]

Từ điều kiện thứ ba:
\[
x = 24n + 23 \quad (n \text{ là số nguyên})
\]

### Bước 2: Tìm số tự nhiên thỏa mãn

Ta sẽ thay \( x \) từ điều kiện đầu tiên vào điều kiện thứ hai:

\[
12k + 10 \equiv 16 \mod 18
\]
\[
12k \equiv 6 \mod 18
\]

Chia cả hai bên cho 6:
\[
2k \equiv 1 \mod 3
\]

Giải phương trình này, ta có:
- \( k \equiv 2 \mod 3 \) (khi k = 2, 5, 8,...)

Vì vậy, \( k \) có thể viết dưới dạng:
\[
k = 3t + 2 \quad (t \text{ là số nguyên})
\]

Thay \( k \) vào \( x \):
\[
x = 12(3t + 2) + 10 = 36t + 24 + 10 = 36t + 34
\]

### Bước 3: Thay vào điều kiện thứ ba

Giờ ta thay vào điều kiện thứ ba:
\[
36t + 34 \equiv 23 \mod 24
\]
\[
12t + 10 \equiv 23 \mod 24
\]
\[
12t \equiv 13 \mod 24
\]

Giải phương trình này:
- \( t \equiv 13 \cdot 2 \mod 4 \) (vì 12 và 24 có ước chung là 12)
- \( t \equiv 2 \mod 4 \)

### Bước 4: Biểu diễn t

Do đó, \( t \) có thể viết dưới dạng:
\[
t = 4s + 2 \quad (s \text{ là số nguyên})
\]

### Bước 5: Thay lại vào x

Thay \( t \) vào \( x \):
\[
x = 36(4s + 2) + 34 = 144s + 72 + 34 = 144s + 106
\]

### Bước 6: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất

Khi \( s = 0 \):
\[
x = 106
\]

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện là **106**.

...Xem thêm

Answer 2