Để giải bài toán này, ta cần xét tổng \( A = 12 + 14 + 16 + x \).

### Tính tổng A

1. Tính giá trị tổng của các số đã cho:
\[
12 + 14 + 16 = 42
\]

2. Do đó, tổng \( A \) trở thành:
\[
A = 42 + x
\]

### 1. Tìm \( x \) để \( A \) chia hết cho 2

Để \( A \) chia hết cho 2, tổng \( A \) cần phải là số chẵn. Vì 42 là số chẵn, \( x \) cũng phải là số chẵn.

- Nếu \( x \) là số chẵn, thì \( A = 42 + x \) cũng sẽ là số chẵn.

### 2. Tìm \( x \) để \( A \) không chia hết cho 2

Để \( A \) không chia hết cho 2, tổng \( A \) cần phải là số lẻ. Vì 42 là số chẵn, \( x \) phải là số lẻ.

- Nếu \( x \) là số lẻ, thì \( A = 42 + x \) sẽ là số lẻ.

### Kết luận

- Để \( A \) chia hết cho 2, \( x \) phải là số chẵn.
- Để \( A \) không chia hết cho 2, \( x \) phải là số lẻ.

### Ví dụ:

- Số chẵn: \( x = 0, 2, 4, 6, \ldots \)
- Số lẻ: \( x = 1, 3, 5, 7, \ldots \)

Để tìm giá trị của \( x \) sao cho \( A = 12 + 14 + 16 + x \) chia hết cho 2 nhưng lại không chia hết cho 2, chúng ta sẽ làm như sau:

1. **Tính tổng \( 12 + 14 + 16 \)**:
\[
12 + 14 + 16 = 42
\]

2. **Biểu thức tổng A**:
\[
A = 42 + x
\]

3. **Điều kiện chia hết cho 2**:
Để \( A \) chia hết cho 2, \( 42 + x \) phải là số chẵn. Do \( 42 \) là số chẵn, thì \( x \) phải là số chẵn (vì số chẵn + số chẵn = số chẵn).

4. **Điều kiện không chia hết cho 2**:
Tuy nhiên, điều kiện là \( A \) cũng không được chia hết cho 2, điều này là bất khả thi. Một số không thể vừa chia hết cho 2 vừa không.

Do đó, không có giá trị nào của \( x \) nào có thể thỏa mãn cả hai điều kiện trên.

Nói cách khác, không tồn tại \( x \) nguyên nào khiến cho \( A \) chia hết cho 2 và đồng thời không chia hết cho 2.