### Bài 4: Chứng minh rằng \( S = \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{69} \) là số vô tỉ.

Để chứng minh rằng \( S \) là số vô tỉ, ta sẽ chứng minh rằng \( S \) không thể là số hữu tỉ.

Giả sử \( S \) là số hữu tỉ, tức là \( S = a/b \) với \( a, b \in \mathbb{Z} \) và \( b \neq 0 \). Ta biết rằng các số \( \sqrt{k} \) (với \( k = 1, 2, \ldots, 69 \)) là các số vô tỉ trừ khi \( k \) là một số chính phương. Trong khoảng từ 1 đến 69, các số chính phương là: \( 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 \), tức là có 8 số chính phương.

Số phần còn lại là 61 số vô tỉ. Khi cộng một số hữu tỉ với một số vô tỉ, tổng sẽ là vô tỉ. Do đó, nếu \( S \) là tổng của một số hữu tỉ và 61 số vô tỉ, thì \( S \) phải là vô tỉ.

Vì vậy, \( S = \sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \ldots + \sqrt{69} \) là số vô tỉ.

### Bài 5: Tìm tất cả các số hữu tỉ \( x, y \) thỏa mãn \( x + 2y + x\sqrt{3} = y\sqrt{3} + 5 \).

Ta có phương trình:

\[
x + 2y + x\sqrt{3} = y\sqrt{3} + 5
\]

Chia hai vế thành phần có \( \sqrt{3} \) và không có \( \sqrt{3} \):

1. Phần không có \( \sqrt{3} \):
\[
x + 2y = 5
\]

2. Phần có \( \sqrt{3} \):
\[
x = y
\]

Từ \( x = y \), thay vào phương trình \( x + 2y = 5 \):

\[
x + 2x = 5 \implies 3x = 5 \implies x = \frac{5}{3}, \quad y = \frac{5}{3}
\]

Vậy nghiệm là \( (x, y) = \left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) \).

### Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) sao cho \( 4n^2 + 9n + 3 \) là số chính phương.

Gọi \( m^2 = 4n^2 + 9n + 3 \) với \( m \in \mathbb{N} \).

Ta có:

\[
m^2 - 4n^2 - 9n - 3 = 0
\]

Xét phương trình bậc 2 với biến \( n \):

\[
4n^2 + 9n + (3 - m^2) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm tự nhiên, delta phải là một số chính phương:

\[
\Delta = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot (3 - m^2) = 81 - 16(3 - m^2) = 81 - 48 + 16m^2 = 33 + 16m^2
\]

Giả sử \( \Delta = k^2 \) với \( k \in \mathbb{N} \):

\[
k^2 - 16m^2 = 33
\]

Điều này có thể viết lại thành phương trình Diophantine:

\[
k^2 - (4m)^2 = 33 \implies (k - 4m)(k + 4m) = 33
\]

Các cặp nhân của 33 là:

1. \( 1 \times 33 \)
2. \( 3 \times 11 \)
3. \( -1 \times -33 \)
4. \( -3 \times -11 \)

Giải từng cặp:

1. \( k - 4m = 1, k + 4m = 33 \): Giải được \( k = 17, m = 4 \)
2. \( k - 4m = 3, k + 4m = 11 \): Giải được \( k = 7, m = 1 \)

Thay các giá trị \( m \) vào phương trình để tìm \( n \):

1. Với \( m = 4 \):
\[
4n^2 + 9n + 3 - 16 = 0 \implies 4n^2 + 9n - 13 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 81 + 208 = 289 = 17^2 \implies n = \frac{-9 \pm 17}{8} = 1 \quad \text{(nghiệm tự nhiên)}
\]

2. Với \( m = 1 \):
\[
4n^2 + 9n + 3 - 1 = 0 \implies 4n^2 + 9n + 2 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 81 - 32 = 49 = 7^2 \implies n = \frac{-9 \pm 7}{8} \text{(không có nghiệm tự nhiên)}
\]

Vậy số tự nhiên \( n \) thỏa mãn là \( n = 1 \).

### Bài 4: Chứng minh rằng S=√1+√2+√3+…+√69S=1+2+3+…+69 là số vô tỉ.

Để chứng minh rằng SS là số vô tỉ, ta sẽ chứng minh rằng SS không thể là số hữu tỉ.

Giả sử SS là số hữu tỉ, tức là S=a/bS=a/b với a,b∈Za,b∈Z và b≠0b≠0. Ta biết rằng các số √kk (với k=1,2,…,69k=1,2,…,69) là các số vô tỉ trừ khi kk là một số chính phương. Trong khoảng từ 1 đến 69, các số chính phương là: 1,4,9,16,25,36,49,641,4,9,16,25,36,49,64, tức là có 8 số chính phương.

Số phần còn lại là 61 số vô tỉ. Khi cộng một số hữu tỉ với một số vô tỉ, tổng sẽ là vô tỉ. Do đó, nếu SS là tổng của một số hữu tỉ và 61 số vô tỉ, thì SS phải là vô tỉ.

Vì vậy, S=√1+√2+√3+…+√69S=1+2+3+…+69 là số vô tỉ.

### Bài 5: Tìm tất cả các số hữu tỉ x,yx,y thỏa mãn x+2y+x√3=y√3+5x+2y+x3=y3+5.

Ta có phương trình:

x+2y+x√3=y√3+5x+2y+x3=y3+5

Chia hai vế thành phần có √33 và không có √33:

1. Phần không có √33:
x+2y=5x+2y=5

2. Phần có √33:
x=yx=y

Từ x=yx=y, thay vào phương trình x+2y=5x+2y=5:

x+2x=5⟹3x=5⟹x=53,y=53x+2x=5⟹3x=5⟹x=53,y=53

Vậy nghiệm là (x,y)=(53,53)(x,y)=(53,53).

### Bài 6: Tìm tất cả các số tự nhiên nn sao cho 4n2+9n+34n2+9n+3 là số chính phương.

Gọi m2=4n2+9n+3m2=4n2+9n+3 với m∈Nm∈N.

Ta có:

m2−4n2−9n−3=0m2−4n2−9n−3=0

Xét phương trình bậc 2 với biến nn:

4n2+9n+(3−m2)=04n2+9n+(3−m2)=0

Để phương trình này có nghiệm tự nhiên, delta phải là một số chính phương:

Δ=92−4⋅4⋅(3−m2)=81−16(3−m2)=81−48+16m2=33+16m2Δ=92−4⋅4⋅(3−m2)=81−16(3−m2)=81−48+16m2=33+16m2

Giả sử Δ=k2Δ=k2 với k∈Nk∈N:

k2−16m2=33k2−16m2=33

Điều này có thể viết lại thành phương trình Diophantine:

k2−(4m)2=33⟹(k−4m)(k+4m)=33k2−(4m)2=33⟹(k−4m)(k+4m)=33

Các cặp nhân của 33 là:

1. 1×331×33
2. 3×113×11
3. −1×−33−1×−33
4. −3×−11−3×−11

Giải từng cặp:

1. k−4m=1,k+4m=33k−4m=1,k+4m=33: Giải được k=17,m=4k=17,m=4
2. k−4m=3,k+4m=11k−4m=3,k+4m=11: Giải được k=7,m=1k=7,m=1

Thay các giá trị mm vào phương trình để tìm nn:

1. Với m=4m=4:
4n2+9n+3−16=0⟹4n2+9n−13=04n2+9n+3−16=0⟹4n2+9n−13=0
Tính delta:
Δ=81+208=289=172⟹n=−9±178=1(nghiệm tự nhiên)Δ=81+208=289=172⟹n=−9±178=1(nghiệm tự nhiên)

2. Với m=1m=1:
4n2+9n+3−1=0⟹4n2+9n+2=04n2+9n+3−1=0⟹4n2+9n+2=0
Tính delta:
Δ=81−32=49=72⟹n=−9±78(không có nghiệm tự nhiên)Δ=81−32=49=72⟹n=−9±78(không có nghiệm tự nhiên)

Vậy số tự nhiên nn thỏa mãn là n=1n=1.