Để chứng minh rằng \( a^2 + b^2 = x^2 + y^2 \) từ điều kiện \( x+y = a+b \) và \( x^3+y^3 = a^3+b^3 \), ta sẽ sử dụng các định lý và công thức liên quan.

### Bước 1: Sử dụng công thức tổng lập phương

Theo công thức tổng lập phương, ta có:

\[
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
\]

Tương tự, với \( a \) và \( b \):

\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

### Bước 2: Thay vào các điều kiện đã cho

Vì \( x+y = a+b \), ta thay vào biểu thức của \( x^3 + y^3 \):

\[
x^3 + y^3 = (a+b)(x^2 - xy + y^2)
\]
\[
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

### Bước 3: So sánh hai phương trình

Vì \( x^3 + y^3 = a^3 + b^3 \), ta có:

\[
(a+b)(x^2 - xy + y^2) = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
\]

### Bước 4: Xét trường hợp \( a+b \neq 0 \)

Nếu \( a+b \neq 0 \), ta có thể chia hai vế cho \( a+b \):

\[
x^2 - xy + y^2 = a^2 - ab + b^2
\]

### Bước 5: Chuyển đổi các biểu thức

Sắp xếp lại:

\[
x^2 + y^2 - xy = a^2 + b^2 - ab
\]

### Bước 6: Thể hiện mối quan hệ giữa \( x^2+y^2 \) và \( a^2+b^2 \)

Ta có thể biến đổi như sau:

\[
x^2 + y^2 - a^2 - b^2 = xy - ab
\]

### Bước 7: Tìm điều kiện để chứng minh

Ta sẽ chứng minh \( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \) nếu \( xy = ab \).

### Kết luận

Từ đó, ta có \( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \) khi \( xy = ab \) và \( a+b \neq 0 \). Nếu \( a+b = 0 \) thì \( a = -b \) và ta có thể kiểm tra bằng cách thay vào điều kiện ban đầu.

Vậy ta đã chứng minh rằng \( a^2 + b^2 = x^2 + y^2 \).