a) Chứng minh OM là tia phân giác của góc AOC
Để chứng minh OM là tia phân giác của góc AOC, ta làm như sau:

Xét tam giác OMA và OMC:

Vì MA và MC là các tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O), nên (MA = MC).
Sử dụng tính chất của tiếp tuyến:

Ta có (OA = OC) (bán kính của đường tròn).
Do đó, tam giác (OMA) và tam giác (OMC) là hai tam giác cân.
Sử dụng tính chất của tam giác cân:

Trong tam giác cân (OMA), ta có (\angle OMA = \angle OAM).
Trong tam giác cân (OMC), ta có (\angle OMC = \angle OCM).
Sử dụng tính chất của góc đối đỉnh:

Vì (OM) là tia chung, nên (\angle OMA = \angle OMC).
Kết luận:

Do đó, (\angle AOM = \angle COM), tức là (OM) là tia phân giác của góc (AOC).
b) Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Để chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O), ta làm như sau:

Xét tam giác OMB:

Ta đã biết (MA) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại (A).
Sử dụng tính chất của tiếp tuyến:

Ta có (OA \perp MA) tại (A).
Sử dụng tính chất của góc vuông:

Vì (AB \perp OM) tại (H), nên (OM) là đường trung trực của (AB).
Sử dụng tính chất của đường trung trực:

Do đó, (OM) chia (AB) thành hai đoạn bằng nhau, tức là (AH = HB).
Sử dụng tính chất của tam giác vuông:

Trong tam giác (OMB), ta có (OM \perp MB) tại (B).
Kết luận:

Do đó, (MB) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại (B).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách hệ thống:

### a) Chứng minh \( OM \) là tia phân giác của góc \( AOC \)

**Giả thuyết:**
- \( M \) là điểm nằm ngoài đường tròn \( (O) \).
- \( A \) là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến \( MA \) với đường tròn \( (O) \).
- \( AB \) là dây cung và vuông góc với \( OM \) tại \( H \).

**Chứng minh**:

1. **Hệ quả từ tính chất của tiếp tuyến**:
- Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
\[
MA \perp OA
\]
- Điều này có nghĩa là góc \( OAM \) (góc giữa bán kính \( OA \) và tiếp tuyến \( MA \)) = 90°.

2. **Góc vuông**:
- Vì \( AB \) vuông góc với \( OM \) tại \( H \), ta có:
\[
\angle AHB = 90°
\]

3. **Sử dụng định lý về góc**:
- Do \( \triangle OAH \) và \( \triangle OMA \) có chung cạnh \( OA \) và có cùng góc vuông \( OAM = AHB \), nên:
\[
\angle OAH + \angle AOM = 90°
\]
- Mỗi tam giác có một góc vuông, căn cứ vào định lý góc. Điều này có nghĩa là:
\[
OM \text{ là tia phân giác của góc } AOC
\]

### b) Chứng minh \( MB \) là tiếp tuyến của đường tròn \( (O) \)

**Chứng minh**:

1. **Tính chất đường tròn và dây cung**:
- Từ \( A \) đến \( B \) là dây cung và \( OM \) là tia phân giác, \(\angle AOB\) là góc với đỉnh tại \( O \).

2. **Sử dụng tính chất tiếp tuyến**:
- Giả dụ \( M \) là điểm bên ngoài và \( MA \) là tiếp tuyến. Vì \( MA \perp OA \), theo tính chất tiếp tuyến, ta có:
\[
\angle OMA = 90°
\]

3. **Chứng minh M là điểm nằm trên tiếp tuyến**:
- Nếu \( MB \) là tiếp tuyến tại \( B \), ta cần chứng minh \( MB \perp OB \).
- Vì \( MA \) vuông góc với \( OA \) và \( OM \) là tia phân giác của \( AOC \), thì ta có:
\[
\angle OMB = \angle OMA + \angle AMB
\]

4. **Kết luận**:
- Suy ra:
\[
MB \text{ là tiếp tuyến của đường tròn } (O)
\]

Do đó, cả hai phần a và b đã được chứng minh như yêu cầu.