Để chứng minh rằng \(\sqrt{11}\) là một số vô tỷ, ta sử dụng phương pháp phản chứng.

**Giả sử:** \(\sqrt{11}\) là một số hữu tỷ. Theo định nghĩa, nếu \(\sqrt{11}\) là số hữu tỷ, thì có thể viết dưới dạng phân số tối giản \(\frac{p}{q}\), trong đó \(p\) và \(q\) là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung ngoài 1), và \(q \neq 0\). Do đó:

\[
\sqrt{11} = \frac{p}{q}
\]

Bình phương hai vế của phương trình này, ta có:

\[
11 = \left(\frac{p}{q}\right)^2
\]

\[
11 = \frac{p^2}{q^2}
\]

Nhân cả hai vế với \(q^2\):

\[
11q^2 = p^2
\]

Từ phương trình trên, \(p^2 = 11q^2\). Điều này có nghĩa là \(p^2\) chia hết cho 11, do đó \(p\) cũng phải chia hết cho 11 (bởi vì nếu một số bình phương chia hết cho một số nguyên tố, thì chính số đó cũng phải chia hết cho số nguyên tố đó).

Giả sử \(p = 11k\) cho một số nguyên \(k\). Thay vào phương trình:

\[
p^2 = (11k)^2 = 121k^2
\]

Thay vào phương trình \(11q^2 = p^2\):

\[
11q^2 = 121k^2
\]

Chia cả hai vế cho 11:

\[
q^2 = 11k^2
\]

Điều này có nghĩa là \(q^2\) cũng chia hết cho 11, và vì vậy \(q\) cũng phải chia hết cho 11.

Nhưng điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng \(p\) và \(q\) là hai số nguyên nguyên tố cùng nhau (không có ước số chung ngoài 1). Vì vậy, giả thiết ban đầu rằng \(\sqrt{11}\) là số hữu tỷ phải sai.

**Kết luận:** \(\sqrt{11}\) là số vô tỷ.