Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

### Bước 1: Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu
- Gọi \(d\) là chiều dài và \(r\) là chiều rộng của mảnh vườn ban đầu.
- Chu vi của mảnh vườn là 120 m, do đó ta có phương trình:
\[
2(d + r) = 120
\]
Suy ra:
\[
d + r = 60 \quad (1)
\]

### Bước 2: Điều kiện để mảnh vườn trở thành hình vuông
- Khi thêm vào chiều rộng 15 m và chiều dài 5 m, mảnh vườn trở thành hình vuông. Do đó, ta có:
\[
d + 5 = r + 15
\]
Suy ra:
\[
d - r = 10 \quad (2)
\]

### Bước 3: Giải hệ phương trình
Từ phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
d + r = 60 \\
d - r = 10
\end{cases}
\]
Cộng hai phương trình:
\[
2d = 70 \quad \Rightarrow \quad d = 35 \, \text{(m)}
\]
Thay \(d = 35\) vào phương trình \(d + r = 60\):
\[
35 + r = 60 \quad \Rightarrow \quad r = 25 \, \text{(m)}
\]

### Bước 4: Tính diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng
- Chiều dài mới: \(d + 5 = 35 + 5 = 40 \, \text{m}\)
- Chiều rộng mới: \(r + 15 = 25 + 15 = 40 \, \text{m}\)

Vậy diện tích của mảnh vườn sau khi mở rộng là:
\[
S = 40 \times 40 = 1600 \, \text{m}^2
\]

### Bước 5: Tính sản lượng khoai thu được
- Theo đề bài, cứ 10 m² đất thu được 5 kg khoai.
- Số khoai thu được từ mảnh vườn là:
\[
\text{Khối lượng khoai} = \frac{1600}{10} \times 5 = 800 \, \text{kg}
\]

### Bước 6: Đổi sang đơn vị tạ
1 tạ = 100 kg, do đó:
\[
\text{Khối lượng khoai} = \frac{800}{100} = 8 \, \text{tạ}
\]

Vậy, cả vườn thu được 8 tạ khoai.

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn

Gọi chiều dài của mảnh vườn là \( l \) và chiều rộng là \( w \).

- **Thông tin 1:** Chu vi của mảnh vườn là 120 m. Do đó:
\[
2(l + w) = 120
\]
\[
l + w = 60
\]

- **Thông tin 2:** Nếu tăng chiều rộng thêm 15 m và tăng chiều dài thêm 5 m thì mảnh vườn trở thành hình vuông. Do đó:
\[
l + 5 = w + 15
\]
\[
l - w = 10
\]

Giải hệ phương trình:
\[
l + w = 60
\]
\[
l - w = 10
\]

Cộng hai phương trình:
\[
(l + w) + (l - w) = 60 + 10
\]
\[
2l = 70 \implies l = 35
\]

Thay \( l = 35 \) vào phương trình \( l + w = 60 \):
\[
35 + w = 60 \implies w = 25
\]

Vậy chiều dài \( l = 35 \) m và chiều rộng \( w = 25 \) m.

### 2. Tính diện tích của mảnh vườn

Diện tích \( A \) của mảnh vườn là:
\[
A = l \times w = 35 \times 25 = 875 \, \text{m}^2
\]

### 3. Tính lượng khoai thu được

- **Thông tin:** Mỗi 10 m² đất thu được 5 kg khoai.

Tính số kg khoai thu được từ toàn bộ diện tích:
\[
\text{Số kg khoai} = \frac{875}{10} \times 5 = 87.5 \times 5 = 437.5 \, \text{kg}
\]

Chuyển đổi kg thành tạ (1 tạ = 100 kg):
\[
\text{Số tạ khoai} = \frac{437.5}{100} = 4.375 \, \text{tạ}
\]

### Kết luận

Toàn bộ mảnh vườn thu được \( 4.375 \) tạ khoai.