Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:

Giả sử vận tốc ban đầu của người đó là \( v \) km/h.

Người đó dự định đi quãng đường từ tỉnh A đến tỉnh B là 120 km trong thời gian đã định, tức là thời gian dự định đi là \( \frac{120}{v} \) giờ.

Sau khi đi được 1 giờ với vận tốc \( v \) km/h, người đó đã đi được \( v \times 1 = v \) km. Quãng đường còn lại là \( 120 - v \) km.

Người đó bị hư xe và phải sửa xe hết 24 phút, tức là \( \frac{24}{60} = \frac{2}{5} \) giờ. Thời gian còn lại để đi quãng đường \( 120 - v \) km là \( \frac{120}{v} - 1 - \frac{2}{5} \) giờ.

Để đến đúng giờ, người đó phải tăng vận tốc thêm 10 km/h, tức là vận tốc mới là \( v + 10 \) km/h.

Thời gian cần để đi quãng đường còn lại với vận tốc mới là \( \frac{120 - v}{v + 10} \) giờ.

Do đó, ta có phương trình:

\[
\frac{120 - v}{v + 10} = \frac{120}{v} - 1 - \frac{2}{5}
\]

Giải phương trình trên để tìm vận tốc ban đầu \( v \).

Ta có:

\[
\frac{120 - v}{v + 10} = \frac{120}{v} - \frac{7}{5}
\]

Quy đồng mẫu số của biểu thức bên phải:

\[
\frac{120 - v}{v + 10} = \frac{600 - 7v}{5v}
\]

Nhân chéo để giải phương trình:

\[
5v(120 - v) = (v + 10)(600 - 7v)
\]

Mở rộng các biểu thức:

\[
600v - 5v^2 = 600v - 7v^2 + 6000 - 70v
\]

Rút gọn và sắp xếp lại phương trình:

\[
2v^2 - 70v + 6000 = 0
\]

Chia cả phương trình cho 2:

\[
v^2 - 35v + 3000 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \( a = 1 \), \( b = -35 \), \( c = 3000 \). Ta tính:

\[
v = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4 \times 1 \times 3000}}{2 \times 1}
\]

\[
v = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 12000}}{2}
\]

\[
v = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 12000}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{1225}}{2}
\]

\[
v = \frac{35 \pm 5}{2}
\]

Vậy ta có hai nghiệm:

\[
v_1 = \frac{40}{2} = 20
\]
\[
v_2 = \frac{30}{2} = 30
\]

Vì vận tốc phải là dương, nên ta chọn \( v = 30 \) km/h.

Vậy vận tốc ban đầu của người đó là 30 km/h.