Biểu thức cần rút gọn là:

$C = \left(\sqrt{x - \sqrt{2024}} - \sqrt{x + \sqrt{2024}}\right) \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}}$

**Rút gọn:**

1. Ta sử dụng đẳng thức:

$\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a} + \sqrt{b}\right) = a - b$

Biểu thức của ta trở thành:

$C = \frac{(x - \sqrt{2024}) - (x + \sqrt{2024})}{\sqrt{x + \sqrt{2024}} + \sqrt{x - \sqrt{2024}}} \times \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}}$

2. Đơn giản hóa phân số:

$= \frac{-2\sqrt{2024}}{\sqrt{x + \sqrt{2024}} + \sqrt{x - \sqrt{2024}}} \times \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}}$

3. Chú ý rằng biểu thức chứa một nhân tử $\sqrt{x + \sqrt{2024}}$, nên ta có thể sử dụng một biến đổi khác để đơn giản hóa.

Vậy kết quả rút gọn cuối cùng của biểu thức là:

$C = -2\sqrt{2024} = -\sqrt{2024 \times 4} = -4\sqrt{506}$

Vậy biểu thức đơn giản rút gọn của $C$ là $-4\sqrt{506}$.

Để rút gọn biểu thức ( c = (\sqrt{x - \sqrt{2024}} - \sqrt{x + \sqrt{2024}}) \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}} ), ta có thể làm như sau:

Đặt ( a = \sqrt{x - \sqrt{2024}} ) và ( b = \sqrt{x + \sqrt{2024}} ):

Khi đó, biểu thức trở thành ( c = (a - b) \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}} ).
Tính ( a^2 ) và ( b^2 ):

( a^2 = x - \sqrt{2024} )
( b^2 = x + \sqrt{2024} )
Tính ( a^2 + b^2 ) và ( a^2 - b^2 ):

( a^2 + b^2 = (x - \sqrt{2024}) + (x + \sqrt{2024}) = 2x )
( a^2 - b^2 = (x - \sqrt{2024}) - (x + \sqrt{2024}) = -2\sqrt{2024} )
Tính ( a^2 b^2 ):

( a^2 b^2 = (x - \sqrt{2024})(x + \sqrt{2024}) = x^2 - (\sqrt{2024})^2 = x^2 - 2024 )
Tính ( \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}} ):

( \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}} ) có thể được viết lại dưới dạng ( \sqrt{x + \sqrt{x^2 - 2024}} = \sqrt{a^2 + b^2} ).
Kết hợp các kết quả trên:

Biểu thức trở thành ( c = (a - b) \sqrt{a^2 + b^2} ).
Vậy, biểu thức đã được rút gọn là ( c = (a - b) \sqrt{a^2 + b^2} )