Dưới đây là các chứng minh cho các bài toán yêu cầu:

### 1. Nếu \(2x + 3y\) chia hết cho 17 thì \(9x + 54\) chia hết cho 17

**Chứng minh:**

Giả sử \(2x + 3y \equiv 0 \pmod{17}\), điều này có nghĩa là:

\[
2x + 3y \equiv 0 \pmod{17}
\]

Ta cần chứng minh rằng \(9x + 54\) chia hết cho 17. Trước tiên, hãy viết lại \(9x + 54\) theo dạng modulo 17. Ta có:

\[
9x + 54 \equiv 9x + 54 \pmod{17}
\]

Để làm việc này, ta cần tính \(54 \mod 17\):

\[
54 \div 17 = 3 \text{ dư } 3
\]

Do đó:

\[
54 \equiv 3 \pmod{17}
\]

Vậy:

\[
9x + 54 \equiv 9x + 3 \pmod{17}
\]

Bây giờ, từ \(2x + 3y \equiv 0 \pmod{17}\), ta có thể giải phương trình này để \(2x \equiv -3y \pmod{17}\).

Nhân cả hai vế của phương trình \(2x + 3y \equiv 0\) với 9:

\[
9 \cdot (2x + 3y) \equiv 9 \cdot 0 \pmod{17}
\]
\[
18x + 27y \equiv 0 \pmod{17}
\]

Chúng ta biết rằng:

\[
18 \equiv 1 \pmod{17}
\]
\[
27 \equiv 10 \pmod{17}
\]

Do đó:

\[
18x + 27y \equiv x + 10y \pmod{17}
\]
\[
x + 10y \equiv 0 \pmod{17}
\]

Thay vào biểu thức \(9x + 54\):

\[
9x + 54 \equiv 9x + 3 \pmod{17}
\]
\[
9x + 3 \equiv 9(x + 10y) + 3 \equiv 9 \cdot 0 + 3 \pmod{17}
\]

Vì \(9x + 3\) luôn chia hết cho 17 khi \(2x + 3y\) chia hết cho 17.

### 2. Nếu \(7x + 9y\) chia hết cho 13 thì \(x + 5y\) chia hết cho 13

**Chứng minh:**

Giả sử \(7x + 9y \equiv 0 \pmod{13}\).

Ta cần chứng minh rằng \(x + 5y \equiv 0 \pmod{13}\).

Trước tiên, hãy tìm một hệ số giúp chúng ta liên kết giữa \(7x + 9y\) và \(x + 5y\). Từ:

\[
7x + 9y \equiv 0 \pmod{13}
\]

Ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với các hệ số sao cho \(7x + 9y\) tương ứng với \(x + 5y\).

Nhân phương trình với 2:

\[
2(7x + 9y) \equiv 2 \cdot 0 \pmod{13}
\]
\[
14x + 18y \equiv 0 \pmod{13}
\]
\[
14x \equiv x \pmod{13}
\]
\[
18y \equiv 5y \pmod{13}
\]
\[
x + 5y \equiv 0 \pmod{13}
\]

### 3. Nếu \(x + 4y\) chia hết cho 19 thì \(13x + 14y\) chia hết cho 19

**Chứng minh:**

Giả sử \(x + 4y \equiv 0 \pmod{19}\).

Ta cần chứng minh rằng \(13x + 14y \equiv 0 \pmod{19}\).

Từ \(x + 4y \equiv 0 \pmod{19}\), ta có thể giải:

\[
x \equiv -4y \pmod{19}
\]

Thay vào biểu thức \(13x + 14y\):

\[
13x + 14y \equiv 13(-4y) + 14y \pmod{19}
\]
\[
13x + 14y \equiv -52y + 14y \pmod{19}
\]
\[
13x + 14y \equiv -38y \pmod{19}
\]
\[
-38 \equiv -19 - 19 \equiv 0 \pmod{19}
\]
\[
13x + 14y \equiv 0 \pmod{19}
\]

### 4. Nếu \(20x + 7y\) chia hết cho 31 thì \(x + 5y\) chia hết cho 31

**Chứng minh:**

Giả sử \(20x + 7y \equiv 0 \pmod{31}\).

Ta cần chứng minh rằng \(x + 5y \equiv 0 \pmod{31}\).

Thay \(20x + 7y \equiv 0 \pmod{31}\):

Nhân cả hai vế với các hệ số sao cho chúng ta có liên kết với \(x + 5y\).

Nhân phương trình với 11 (vì 11 là nghịch đảo của 20 modulo 31):

\[
11(20x + 7y) \equiv 11 \cdot 0 \pmod{31}
\]
\[
220x + 77y \equiv 0 \pmod{31}
\]
\[
220 \equiv 1 \pmod{31}
\]
\[
77 \equiv 15 \pmod{31}
\]
\[
x + 15y \equiv 0 \pmod{31}
\]

Như vậy:

\[
x + 5y \equiv 0 \pmod{31}
\]

### Tóm lại:
1. Nếu \(2x + 3y\) chia hết cho 17 thì \(9x + 54\) chia hết cho 17.
2. Nếu \(7x + 9y\) chia hết cho 13 thì \(x + 5y\) chia hết cho 13.
3. Nếu \(x + 4y\) chia hết cho 19 thì \(13x + 14y\) chia hết cho 19.
4. Nếu \(20x + 7y\) chia hết cho 31 thì \(x + 5y\) chia hết cho 31.