Bài toán này yêu cầu tính tổng các phân số có dạng:

\[
\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdots + \frac{1}{2021 \times 2022}
\]

Ta có thể đơn giản mỗi phân số bằng cách viết lại:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
\]

Như vậy tổng ban đầu trở thành:

\[
\left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{2021} - \frac{1}{2022}\right)
\]

Tổng này là một tổng lũy tiến, tất cả các hạng tử ở giữa sẽ bị triệt tiêu. Do đó, tổng sẽ đơn giản còn lại:

\[
\frac{1}{1} - \frac{1}{2022} = 1 - \frac{1}{2022}
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:

\[
\frac{2021}{2022}
\]

Để tính tổng của biểu thức

S=11⋅2+12⋅3+13⋅4+14⋅5+⋯+12021⋅2022S=1⋅21​+2⋅31​+3⋅41​+4⋅51​+⋯+2021⋅20221​
ta có thể sử dụng phương pháp khai thác công thức phân số đơn giản:

1n(n+1)=1n−1n+1n(n+1)1​=n1​−n+11​
Áp dụng công thức này cho từng thành phần trong tổng:

S=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(12021−12022)S=(11​−21​)+(21​−31​)+(31​−41​)+⋯+(20211​−20221​)
Khi cộng các phân số lại với nhau, ta nhận thấy rằng nhiều hạng tử sẽ bị triệt tiêu (hủy nhau). Cụ thể, tất cả các hạng tử giữa sẽ biến mất, chỉ còn lại: