Để giải bài toán với biểu thức

\[
P = \frac{x}{x+3} + \frac{3}{x-3} - \frac{x^2 + 4}{x^2 - 9}
\]

với điều kiện \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\), ta thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn \(P\)

Đầu tiên, ta phân tích tử số và mẫu số của các phân số trong biểu thức.

- \(x^2 - 9\) có thể phân tích thành \((x+3)(x-3)\).

Vậy biểu thức \(P\) có thể viết lại như sau:

\[
P = \frac{x}{x+3} + \frac{3}{x-3} - \frac{x^2 + 4}{(x+3)(x-3)}
\]

Để rút gọn \(P\), ta đưa tất cả các phân số về mẫu số chung là \((x+3)(x-3)\).

- Viết lại \(\frac{x}{x+3}\) với mẫu số chung:

\[
\frac{x}{x+3} = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)}
\]

- Viết lại \(\frac{3}{x-3}\) với mẫu số chung:

\[
\frac{3}{x-3} = \frac{3(x+3)}{(x+3)(x-3)}
\]

- Tử số của phân số \(\frac{x^2 + 4}{(x+3)(x-3)}\) đã có mẫu số chung.

Kết hợp tất cả:

\[
P = \frac{x(x-3) + 3(x+3) - (x^2 + 4)}{(x+3)(x-3)}
\]

Tiến hành tính toán tử số:

\[
x(x-3) + 3(x+3) - (x^2 + 4)
\]

\[
= x^2 - 3x + 3x + 9 - x^2 - 4
\]

\[
= x^2 - x^2 - 3x + 3x + 9 - 4
\]

\[
= 5
\]

Vậy, biểu thức rút gọn là:

\[
P = \frac{5}{(x+3)(x-3)}
\]

### b) Tìm \(P\) khi \(x = 5\)

Thay \(x = 5\) vào biểu thức đã rút gọn:

\[
P = \frac{5}{(5+3)(5-3)}
\]

\[
= \frac{5}{8 \cdot 2}
\]

\[
= \frac{5}{16}
\]

### c) Tìm \(x\) để \(P = \frac{3}{7}\)

Giải phương trình:

\[
\frac{5}{(x+3)(x-3)} = \frac{3}{7}
\]

Ta thực hiện phép nhân chéo:

\[
5 \cdot 7 = 3 \cdot (x+3)(x-3)
\]

\[
35 = 3(x^2 - 9)
\]

\[
35 = 3x^2 - 27
\]

\[
3x^2 = 35 + 27
\]

\[
3x^2 = 62
\]

\[
x^2 = \frac{62}{3}
\]

\[
x = \pm \sqrt{\frac{62}{3}}
\]

Giá trị này không phải là số nguyên. Vì vậy không có giá trị nguyên của \(x\) để \(P = \frac{3}{7}\).

### d) Tìm \(x\) nguyên để \(P\) nguyên

Với biểu thức \(P\) rút gọn là:

\[
P = \frac{5}{(x+3)(x-3)}
\]

\(P\) là một số nguyên khi mẫu số \((x+3)(x-3)\) là một số chia hết cho 5. Ta cần tìm các giá trị nguyên của \(x\) sao cho \((x+3)(x-3)\) chia hết cho 5.

Ta có:

\[
(x+3)(x-3) = x^2 - 9
\]

Vì \(x^2 - 9\) phải chia hết cho 5, nên \(x^2 \equiv 9 \pmod{5}\).

Chúng ta kiểm tra các giá trị của \(x\) mod 5:

- Nếu \(x \equiv 0 \pmod{5}\), thì \(x^2 \equiv 0 \pmod{5}\).
- Nếu \(x \equiv 1 \pmod{5}\), thì \(x^2 \equiv 1 \pmod{5}\).
- Nếu \(x \equiv 2 \pmod{5}\), thì \(x^2 \equiv 4 \pmod{5}\).
- Nếu \(x \equiv 3 \pmod{5}\), thì \(x^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}\).
- Nếu \(x \equiv 4 \pmod{5}\), thì \(x^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{5}\).

Như vậy, không có giá trị \(x\) nguyên nào sao cho \(x^2 - 9\) chia hết cho 5 và \(P\) là số nguyên.