Để tính tổng của các phân số trong biểu thức:

$\frac{1}{3} + \frac{3}{7} + \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2 \cdot 13} + \frac{3}{13 \cdot 4} + \frac{5}{4 \cdot 21} + \frac{3}{21 \cdot 6}$

ta cần tính từng phân số và cộng chúng lại.

### Bước 1: Tính từng phân số

**1. $\frac{1}{3}$**

Đã có sẵn.

**2. $\frac{3}{7}$**

Đã có sẵn.

**3. $\frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}$**

Tính:

$\frac{1}{14}$

**4. $\frac{5}{2 \cdot 13} = \frac{5}{26}$**

Tính:

$\frac{5}{26}$

**5. $\frac{3}{13 \cdot 4} = \frac{3}{52}$**

Tính:

$\frac{3}{52}$

**6. $\frac{5}{4 \cdot 21} = \frac{5}{84}$**

Tính:

$\frac{5}{84}$

**7. $\frac{3}{21 \cdot 6} = \frac{3}{126}$**

Tính:

$\frac{3}{126} = \frac{1}{42}$

### Bước 2: Tính tổng các phân số

Để cộng các phân số, ta cần quy về cùng mẫu số chung. Tính mẫu số chung của các phân số:

Các mẫu số là: 3, 7, 14, 26, 52, 84, 42.

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số này:

- $3 = 3$
- $7 = 7$
- $14 = 2 \cdot 7$
- $26 = 2 \cdot 13$
- $52 = 2^2 \cdot 13$
- $84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7$
- $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$

LCM là tích của tất cả các yếu tố nguyên tố với số mũ lớn nhất:

$LCM = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 1092$

**Chuyển đổi tất cả các phân số về mẫu số chung 1092:**

1. $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 364}{1092} = \frac{364}{1092}$
2. $\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 156}{1092} = \frac{468}{1092}$
3. $\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 78}{1092} = \frac{78}{1092}$
4. $\frac{5}{26} = \frac{5 \cdot 42}{1092} = \frac{210}{1092}$
5. $\frac{3}{52} = \frac{3 \cdot 21}{1092} = \frac{63}{1092}$
6. $\frac{5}{84} = \frac{5 \cdot 13}{1092} = \frac{65}{1092}$
7. $\frac{1}{42} = \frac{1 \cdot 26}{1092} = \frac{26}{1092}$

**Tổng tất cả các phân số:**

$\frac{364 + 468 + 78 + 210 + 63 + 65 + 26}{1092}$

Tính tổng các tử số:

$364 + 468 + 78 + 210 + 63 + 65 + 26 = 1,274$

Vậy tổng là:

$\frac{1,274}{1092}$

**Rút gọn phân số:**

Chia tử số và mẫu số cho 2:

$\frac{1,274 \div 2}{1092 \div 2} = \frac{637}{546}$

Chia tiếp cho 7:

$\frac{637 \div 7}{546 \div 7} = \frac{91}{78}$

Vậy tổng của các phân số là:

$\boxed{\frac{91}{78}}$