Để tính tổng của các phân số trong biểu thức:

\[
\frac{1}{3} + \frac{3}{7} + \frac{1}{2 \cdot 7} + \frac{5}{2 \cdot 13} + \frac{3}{13 \cdot 4} + \frac{5}{4 \cdot 21} + \frac{3}{21 \cdot 6}
\]

ta cần tính từng phân số và cộng chúng lại.

### Bước 1: Tính từng phân số

**1. \(\frac{1}{3}\)**

Đã có sẵn.

**2. \(\frac{3}{7}\)**

Đã có sẵn.

**3. \(\frac{1}{2 \cdot 7} = \frac{1}{14}\)**

Tính:

\[
\frac{1}{14}
\]

**4. \(\frac{5}{2 \cdot 13} = \frac{5}{26}\)**

Tính:

\[
\frac{5}{26}
\]

**5. \(\frac{3}{13 \cdot 4} = \frac{3}{52}\)**

Tính:

\[
\frac{3}{52}
\]

**6. \(\frac{5}{4 \cdot 21} = \frac{5}{84}\)**

Tính:

\[
\frac{5}{84}
\]

**7. \(\frac{3}{21 \cdot 6} = \frac{3}{126}\)**

Tính:

\[
\frac{3}{126} = \frac{1}{42}
\]

### Bước 2: Tính tổng các phân số

Để cộng các phân số, ta cần quy về cùng mẫu số chung. Tính mẫu số chung của các phân số:

Các mẫu số là: 3, 7, 14, 26, 52, 84, 42.

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của các mẫu số này:

- \(3 = 3\)
- \(7 = 7\)
- \(14 = 2 \cdot 7\)
- \(26 = 2 \cdot 13\)
- \(52 = 2^2 \cdot 13\)
- \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\)
- \(42 = 2 \cdot 3 \cdot 7\)

LCM là tích của tất cả các yếu tố nguyên tố với số mũ lớn nhất:

\[
LCM = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 1092
\]

**Chuyển đổi tất cả các phân số về mẫu số chung 1092:**

1. \(\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 364}{1092} = \frac{364}{1092}\)
2. \(\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 156}{1092} = \frac{468}{1092}\)
3. \(\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 78}{1092} = \frac{78}{1092}\)
4. \(\frac{5}{26} = \frac{5 \cdot 42}{1092} = \frac{210}{1092}\)
5. \(\frac{3}{52} = \frac{3 \cdot 21}{1092} = \frac{63}{1092}\)
6. \(\frac{5}{84} = \frac{5 \cdot 13}{1092} = \frac{65}{1092}\)
7. \(\frac{1}{42} = \frac{1 \cdot 26}{1092} = \frac{26}{1092}\)

**Tổng tất cả các phân số:**

\[
\frac{364 + 468 + 78 + 210 + 63 + 65 + 26}{1092}
\]

Tính tổng các tử số:

\[
364 + 468 + 78 + 210 + 63 + 65 + 26 = 1,274
\]

Vậy tổng là:

\[
\frac{1,274}{1092}
\]

**Rút gọn phân số:**

Chia tử số và mẫu số cho 2:

\[
\frac{1,274 \div 2}{1092 \div 2} = \frac{637}{546}
\]

Chia tiếp cho 7:

\[
\frac{637 \div 7}{546 \div 7} = \frac{91}{78}
\]

Vậy tổng của các phân số là:

\[
\boxed{\frac{91}{78}}
\]