Để tính giá trị của biểu thức \(\frac{2 + 4 + 6 + \cdots + 48 + 50}{12 \times 24 + 3 \times 76 \times 4}\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Tính tổng của dãy số trong tử số

Dãy số \(2, 4, 6, \ldots, 48, 50\) là một dãy số cấp số cộng với:
- Số hạng đầu tiên \(a = 2\)
- Công sai \(d = 2\)
- Số hạng cuối cùng \(l = 50\)

Số lượng số hạng \(n\) của dãy này có thể tính bằng cách giải phương trình:

\[
a_n = a + (n-1) \cdot d
\]

Đặt \(a_n = 50\):

\[
50 = 2 + (n-1) \cdot 2
\]

\[
50 = 2 + 2(n-1)
\]

\[
50 - 2 = 2(n-1)
\]

\[
48 = 2(n-1)
\]

\[
n-1 = 24
\]

\[
n = 25
\]

Dãy số có 25 số hạng. Tổng của dãy số cấp số cộng được tính bằng:

\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a + l)
\]

\[
S_{25} = \frac{25}{2} \cdot (2 + 50)
\]

\[
S_{25} = \frac{25}{2} \cdot 52
\]

\[
S_{25} = 25 \cdot 26 = 650
\]

### Tính biểu thức trong mẫu số

Biểu thức mẫu số là:

\[
12 \times 24 + 3 \times 76 \times 4
\]

Tính từng phần:

1. **Tính \(12 \times 24\):**

\[
12 \times 24 = 288
\]

2. **Tính \(3 \times 76 \times 4\):**

\[
76 \times 4 = 304
\]

\[
3 \times 304 = 912
\]

3. **Cộng hai kết quả:**

\[
288 + 912 = 1200
\]

### Tính giá trị của biểu thức

\[
\frac{650}{1200}
\]

Rút gọn phân số:

\[
\frac{650}{1200} = \frac{65}{120} = \frac{13}{24}
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức là \(\frac{13}{24}\).

Để tính nhanh biểu thức \(\frac{2+4+6+\cdots+48+50}{12 \times 24 + 3 \times 76 \times 4}\), chúng ta sẽ tính cả tử số và mẫu số một cách riêng biệt.

### Tính tử số:

Tử số là tổng của dãy số chẵn từ 2 đến 50. Dãy số này có thể được viết dưới dạng:

\[
2 + 4 + 6 + \cdots + 50 = 2(1 + 2 + 3 + \cdots + 25)
\]

Trong đó, \(1 + 2 + 3 + \cdots + 25\) là tổng của 25 số tự nhiên. Công thức tính tổng \(n\) số tự nhiên là:

\[
S_n = \frac{n(n + 1)}{2}
\]

Với \(n = 25\):

\[
1 + 2 + 3 + \cdots + 25 = \frac{25 \cdot 26}{2} = 325
\]

Vậy total:

\[
2(1 + 2 + 3 + \cdots + 25) = 2 \cdot 325 = 650
\]

### Tính mẫu số:

Mẫu số là:

\[
12 \times 24 + 3 \times 76 \times 4
\]

**Tính \(12 \times 24\):**

\[
12 \times 24 = 288
\]

**Tính \(3 \times 76 \times 4\):**

\[
3 \times 76 = 228 \quad \text{và} \quad 228 \times 4 = 912
\]

Vậy mẫu số là:

\[
12 \times 24 + 3 \times 76 \times 4 = 288 + 912 = 1200
\]

### Tính giá trị biểu thức:

Cuối cùng, ta tính giá trị của biểu thức:

\[
\frac{2 + 4 + 6 + \cdots + 50}{12 \times 24 + 3 \times 76 \times 4} = \frac{650}{1200}
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
\frac{650}{1200} = \frac{65}{120} = \frac{13}{24}
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức là:

\[
\frac{13}{24}
\]