Để giải các phương trình dưới đây, chúng ta sẽ thực hiện từng bước tính toán cụ thể:

### a) \(\frac{15}{x} = -\frac{3}{x}\)

Để giải phương trình này, trước tiên, chúng ta nhận thấy rằng mẫu số \(x\) ở cả hai bên là giống nhau, vì vậy ta có thể bỏ đi mẫu số \(x\) nếu \(x \neq 0\):

\[
\frac{15}{x} = -\frac{3}{x}
\]

Khi bỏ đi mẫu số \(x\):

\[
15 = -3
\]

Điều này là không đúng vì \(15 \neq -3\). Vì vậy, không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn phương trình này. **Phương trình vô nghiệm.**

### b) \(x + \frac{1}{3} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{4}\)

Trước tiên, tính toán biểu thức bên phải phương trình:

\[
-\frac{2}{5} \cdot \frac{25}{4}
\]

Nhân các phân số:

\[
-\frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 4} = -\frac{50}{20} = -\frac{5}{2}
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
x + \frac{1}{3} = -\frac{5}{2}
\]

Để tìm \(x\), trừ \(\frac{1}{3}\) từ cả hai bên của phương trình:

\[
x = -\frac{5}{2} - \frac{1}{3}
\]

Tìm mẫu số chung của 2 và 3 là 6:

\[
-\frac{5}{2} = -\frac{15}{6}
\]
\[
-\frac{1}{3} = -\frac{2}{6}
\]

Cộng các phân số:

\[
x = -\frac{15}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{17}{6}
\]

Vậy giá trị của \(x\) là:

\[
x = -\frac{17}{6}
\]

### c) \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x = 0.5\)

Để giải phương trình này, trước tiên ta chuyển số \(0.5\) thành phân số:

\[
0.5 = \frac{1}{2}
\]

Phương trình trở thành:

\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{3}x = \frac{1}{2}
\]

Để tìm \(x\), trừ \(\frac{2}{3}\) từ cả hai bên:

\[
\frac{1}{3}x = \frac{1}{2} - \frac{2}{3}
\]

Tìm mẫu số chung của 2 và 3 là 6:

\[
\frac{1}{2} = \frac{3}{6}
\]
\[
\frac{2}{3} = \frac{4}{6}
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6}
\]

Phương trình trở thành:

\[
\frac{1}{3}x = -\frac{1}{6}
\]

Nhân cả hai bên với 3:

\[
x = -\frac{1}{6} \times 3 = -\frac{1}{2}
\]

Vậy giá trị của \(x\) là:

\[
x = -\frac{1}{2}
\]

### d) \(x - \frac{1}{4} = \frac{25}{x - 1}\)

Để giải phương trình này, trước tiên, nhân cả hai bên với \(x - 1\) để loại bỏ mẫu số:

\[
(x - \frac{1}{4})(x - 1) = 25
\]

Mở rộng và đơn giản hóa:

\[
x(x - 1) - \frac{1}{4}(x - 1) = 25
\]
\[
x^2 - x - \frac{x - 1}{4} = 25
\]
\[
x^2 - x - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} = 25
\]
\[
x^2 - \frac{5x}{4} + \frac{1}{4} = 25
\]

Nhân cả hai bên với 4 để loại bỏ phân số:

\[
4(x^2 - \frac{5x}{4} + \frac{1}{4}) = 4 \cdot 25
\]
\[
4x^2 - 5x + 1 = 100
\]
\[
4x^2 - 5x - 99 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó \(a = 4\), \(b = -5\), và \(c = -99\):

\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-99)}}{2 \cdot 4}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 1584}}{8}
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{1609}}{8}
\]

Do đó, giá trị của \(x\) là:

\[
x = \frac{5 + \sqrt{1609}}{8} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5 - \sqrt{1609}}{8}
\]

Chúng ta sẽ giải từng bài toán một.

### a) \( \frac{15}{x} = \frac{-3}{x} \)

Để giải phương trình này, chúng ta nhân cả hai vế với \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)):
\[
15 = -3
\]

Điều này là không đúng, cho nên phương trình này không có nghiệm.

### b) \( x + \frac{1}{3} = -\frac{2}{5.25} + \frac{4}{3} \)

Tính giá trị bên phải:
\[
5.25 = \frac{21}{4} \quad (vì \, 5.25 = 5 + 0.25 = 5 + \frac{1}{4} = \frac{20}{4} + \frac{1}{4})
\]
Do đó:
\[
-\frac{2}{5.25} = -\frac{2}{\frac{21}{4}} = -\frac{2 \cdot 4}{21} = -\frac{8}{21}
\]

Và:
\[
\frac{4}{3} = \frac{4 \cdot 7}{21} = \frac{28}{21}
\]

Giờ tính bên phải:
\[
-\frac{8}{21} + \frac{28}{21} = \frac{28 - 8}{21} = \frac{20}{21}
\]

Vậy phương trình trở thành:
\[
x + \frac{1}{3} = \frac{20}{21}
\]

Giải cho \( x \):
\[
x = \frac{20}{21} - \frac{1}{3}
\]

Tính \( \frac{1}{3} \) dưới mẫu \( 21 \):
\[
\frac{1}{3} = \frac{7}{21}
\]
Do đó:
\[
x = \frac{20}{21} - \frac{7}{21} = \frac{13}{21}
\]

### c) \( \frac{2}{3} + \frac{1}{3}x = 0.5 \)

Chuyển \( \frac{2}{3} \) sang bên phải:
\[
\frac{1}{3}x = 0.5 - \frac{2}{3}
\]
Sử dụng mẫu chung là \( 6 \):
\[
0.5 = \frac{3}{6} \quad \text{và} \quad \frac{2}{3} = \frac{4}{6}
\]
Vậy:
\[
\frac{1}{3}x = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = \frac{-1}{6}
\]

Nhân cả hai vế với 3:
\[
x = 3 \cdot \frac{-1}{6} = -\frac{1}{2}
\]

### d) \( \frac{x-1}{4} = \frac{25}{x-1} \)

Nhân chéo hai vế:
\[
(x - 1)^2 = 25 \cdot 4
\]
\[
(x - 1)^2 = 100
\]

Lấy căn bậc hai của cả hai bên:
\[
x - 1 = \pm 10
\]

Vậy:
1. \( x - 1 = 10 \Rightarrow x = 11 \)
2. \( x - 1 = -10 \Rightarrow x = -9 \)

### Tóm tắt kết quả:
a) Không có nghiệm.
b) \( x = \frac{13}{21} \).
c) \( x = -\frac{1}{2} \).
d) \( x = 11 \) hoặc \( x = -9 \).