Gọi số lít dầu ban đầu của thùng thứ nhất là \(x\) và thùng thứ hai là \(y\). Theo đề bài, ta có các phương trình sau:

1. Tổng số lít dầu của hai thùng là 116 lít:
\[
x + y = 116 \quad \text{(1)}
\]

2. Khi chuyển 6 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì hai thùng bằng nhau:
\[
x - 6 = y + 6 \quad \text{(2)}
\]

### Bước 1: Giải phương trình (2)
Ta biến đổi phương trình (2) để tìm mối quan hệ giữa \(x\) và \(y\):
\[
x - y = 12 \quad \text{(3)}
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình
Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
x + y = 116 \quad \text{(1)} \\
x - y = 12 \quad \text{(3)}
\end{cases}
\]

Cộng hai phương trình (1) và (3):
\[
(x + y) + (x - y) = 116 + 12
\]
\[
2x = 128
\]
\[
x = \frac{128}{2} = 64
\]

### Bước 3: Tìm \(y\)
Thay \(x = 64\) vào phương trình (1):
\[
64 + y = 116
\]
\[
y = 116 - 64 = 52
\]

### Kết luận
Vậy thùng thứ nhất có 64 lít dầu và thùng thứ hai có 52 lít dầu.