Để chứng minh rằng \( A = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1} \) chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương \( n \), ta sẽ phân tích và kiểm tra tính chia hết của từng hạng tử trong biểu thức \( A \) modulo 10.

Trước tiên, ta cần xem xét quy luật của các lũy thừa của 3 và 2 theo modulo 10.

### Lũy thừa của 3 theo modulo 10
Ta có chu kỳ của \( 3^k \mod 10 \) như sau:
\[
\begin{aligned}
&3^1 \equiv 3 \mod 10, \\
&3^2 \equiv 9 \mod 10, \\
&3^3 \equiv 27 \equiv 7 \mod 10, \\
&3^4 \equiv 81 \equiv 1 \mod 10.
\end{aligned}
\]
Ta nhận thấy rằng lũy thừa của 3 theo modulo 10 có chu kỳ lặp lại mỗi 4 bước:
\[
3, 9, 7, 1.
\]

### Lũy thừa của 2 theo modulo 10
Tương tự, ta có chu kỳ của \( 2^k \mod 10 \) như sau:
\[
\begin{aligned}
&2^1 \equiv 2 \mod 10, \\
&2^2 \equiv 4 \mod 10, \\
&2^3 \equiv 8 \mod 10, \\
&2^4 \equiv 16 \equiv 6 \mod 10, \\
&2^5 \equiv 32 \equiv 2 \mod 10.
\end{aligned}
\]
Ta nhận thấy rằng lũy thừa của 2 theo modulo 10 có chu kỳ lặp lại mỗi 4 bước:
\[
2, 4, 8, 6.
\]

### Phân tích \( A \)
Biểu thức của chúng ta là:
\[
A = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1}.
\]

#### 1. Xét \( 3^{n+3} \mod 10 \)
Do chu kỳ của \( 3^k \mod 10 \) là 4, ta có:
\[
3^{n+3} \equiv 3^{(n+3) \mod 4} \mod 10.
\]
#### 2. Xét \( 2^{n+3} \mod 10 \)
Do chu kỳ của \( 2^k \mod 10 \) là 4, ta có:
\[
2^{n+3} \equiv 2^{(n+3) \mod 4} \mod 10.
\]
#### 3. Xét \( 3^{n+1} \mod 10 \)
Ta có:
\[
3^{n+1} \equiv 3^{(n+1) \mod 4} \mod 10.
\]
#### 4. Xét \( 2^{n+1} \mod 10 \)
Ta có:
\[
2^{n+1} \equiv 2^{(n+1) \mod 4} \mod 10.
\]

#### Tính toán tổng quát
Do các chu kỳ là 4, ta chỉ cần xét các trường hợp \( n \mod 4 \). Ta kiểm tra \( A \mod 10 \) cho từng trường hợp cụ thể của \( n \mod 4 \).

- **Trường hợp 1**: \( n \equiv 0 \mod 4 \)
\[
\begin{aligned}
3^{n+3} &\equiv 3^3 \equiv 7 \mod 10, \\
2^{n+3} &\equiv 2^3 \equiv 8 \mod 10, \\
3^{n+1} &\equiv 3^1 \equiv 3 \mod 10, \\
2^{n+1} &\equiv 2^1 \equiv 2 \mod 10.
\end{aligned}
\]
Khi đó,
\[
A \equiv 7 - 8 + 3 - 2 \equiv 0 \mod 10.
\]

- **Trường hợp 2**: \( n \equiv 1 \mod 4 \)
\[
\begin{aligned}
3^{n+3} &\equiv 3^4 \equiv 1 \mod 10, \\
2^{n+3} &\equiv 2^4 \equiv 6 \mod 10, \\
3^{n+1} &\equiv 3^2 \equiv 9 \mod 10, \\
2^{n+1} &\equiv 2^2 \equiv 4 \mod 10.
\end{aligned}
\]
Khi đó,
\[
A \equiv 1 - 6 + 9 - 4 \equiv 0 \mod 10.
\]

- **Trường hợp 3**: \( n \equiv 2 \mod 4 \)
\[
\begin{aligned}
3^{n+3} &\equiv 3^5 \equiv 3 \mod 10, \\
2^{n+3} &\equiv 2^5 \equiv 2 \mod 10, \\
3^{n+1} &\equiv 3^3 \equiv 7 \mod 10, \\
2^{n+1} &\equiv 2^3 \equiv 8 \mod 10.
\end{aligned}
\]
Khi đó,
\[
A \equiv 3 - 2 + 7 - 8 \equiv 0 \mod 10.
\]

- **Trường hợp 4**: \( n \equiv 3 \mod 4 \)
\[
\begin{aligned}
3^{n+3} &\equiv 3^6 \equiv 9 \mod 10, \\
2^{n+3} &\equiv 2^6 \equiv 4 \mod 10, \\
3^{n+1} &\equiv 3^4 \equiv 1 \mod 10, \\
2^{n+1} &\equiv 2^4 \equiv 6 \mod 10.
\end{aligned}
\]
Khi đó,
\[
A \equiv 9 - 4 + 1 - 6 \equiv 0 \mod 10.
\]

Kết luận, với mọi số nguyên dương \( n \), ta đều có \( A = 3^{n+3} - 2^{n+3} + 3^{n+1} - 2^{n+1} \equiv 0 \mod 10 \), nghĩa là \( A \) chia hết cho 10.