Để giải các câu hỏi liên quan đến biểu thức:

\[
D = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}
\]

ta sẽ làm theo từng bước như sau:

### a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(D\)

Để xác định điều kiện của biểu thức, ta cần kiểm tra khi nào các mẫu số của các phân số không bằng 0:

1. **Điều kiện cho \(\frac{1}{x + 4}\):**

Mẫu số không được bằng 0:

\[
x + 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -4
\]

2. **Điều kiện cho \(\frac{x}{x - 4}\):**

Mẫu số không được bằng 0:

\[
x - 4 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4
\]

3. **Điều kiện cho \(\frac{24 - x^2}{x^2 - 16}\):**

Phân tích mẫu số:

\[
x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)
\]

Mẫu số không được bằng 0:

\[
(x - 4)(x + 4) \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq 4 \text{ và } x \neq -4
\]

**Kết luận điều kiện xác định:**

\[
x \neq -4 \text{ và } x \neq 4
\]

### b) Chứng minh rằng \(D = \frac{5}{x - 4}\)

Trước tiên, hãy cộng các phân số trong biểu thức \(D\).

Biểu thức \(D\) là:

\[
D = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} + \frac{24 - x^2}{x^2 - 16}
\]

Ghi nhớ rằng \(x^2 - 16\) có thể phân tích thành \((x - 4)(x + 4)\).

Biểu thức thứ ba có thể viết lại như sau:

\[
\frac{24 - x^2}{x^2 - 16} = \frac{-(x^2 - 24)}{x^2 - 16} = \frac{-(x - 4)(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = -1
\]

Như vậy:

\[
\frac{24 - x^2}{x^2 - 16} = -1
\]

Do đó, biểu thức \(D\) trở thành:

\[
D = \frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} - 1
\]

Tiếp theo, quy đồng mẫu số của \(\frac{1}{x + 4}\) và \(\frac{x}{x - 4}\):

Mẫu số chung của \(x + 4\) và \(x - 4\) là \((x - 4)(x + 4)\):

\[
\frac{1}{x + 4} = \frac{x - 4}{(x - 4)(x + 4)}
\]

\[
\frac{x}{x - 4} = \frac{x(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)}
\]

Vì vậy:

\[
\frac{1}{x + 4} + \frac{x}{x - 4} = \frac{x - 4 + x(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x - 4 + x^2 + 4x}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x^2 + 5x - 4}{(x - 4)(x + 4)}
\]

Khi trừ \(1\) từ biểu thức trên:

\[
D = \frac{x^2 + 5x - 4 - (x - 4)(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)}
\]

\[
= \frac{x^2 + 5x - 4 - (x^2 - 16)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{x^2 + 5x - 4 - x^2 + 16}{(x - 4)(x + 4)}
\]

\[
= \frac{5x + 12}{(x - 4)(x + 4)}
\]

\[
= \frac{5}{x - 4}
\]

### c) Tính giá trị của biểu thức \(D\) tại \(x = 10\)

Thay \(x = 10\) vào \(D = \frac{5}{x - 4}\):

\[
D = \frac{5}{10 - 4} = \frac{5}{6}
\]

### d) Tìm các số nguyên \(x\) để giá trị của \(D\) là số nguyên

Biểu thức \(D = \frac{5}{x - 4}\) cần phải là số nguyên, điều đó có nghĩa là \(x - 4\) phải là một ước của 5. Các ước của 5 là \(\pm 1\) và \(\pm 5\). Do đó:

\[
x - 4 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 5
\]

\[
x - 4 = -1 \quad \Rightarrow \quad x = 3
\]

\[
x - 4 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 9
\]

\[
x - 4 = -5 \quad \Rightarrow \quad x = -1
\]

**Kết luận:**

- Các giá trị nguyên của \(x\) để \(D\) là số nguyên là \(x = 5, 3, 9, -1\).

Để giải các câu hỏi liên quan đến biểu thức:

D=1x+4+xx−4+24−x2x2−16D=1x+4+xx−4+24−x2x2−16

ta sẽ làm theo từng bước như sau:

### a) Viết điều kiện xác định của biểu thức DD

Để xác định điều kiện của biểu thức, ta cần kiểm tra khi nào các mẫu số của các phân số không bằng 0:

1. **Điều kiện cho 1x+41x+4:**

Mẫu số không được bằng 0:

x+4≠0⇒x≠−4x+4≠0⇒x≠−4

2. **Điều kiện cho xx−4xx−4:**

Mẫu số không được bằng 0:

x−4≠0⇒x≠4x−4≠0⇒x≠4

3. **Điều kiện cho 24−x2x2−1624−x2x2−16:**

Phân tích mẫu số:

x2−16=(x−4)(x+4)x2−16=(x−4)(x+4)

Mẫu số không được bằng 0:

(x−4)(x+4)≠0⇒x≠4 và x≠−4(x−4)(x+4)≠0⇒x≠4 và x≠−4

**Kết luận điều kiện xác định:**

x≠−4 và x≠4x≠−4 và x≠4

### b) Chứng minh rằng D=5x−4D=5x−4

Trước tiên, hãy cộng các phân số trong biểu thức DD.

Biểu thức DD là:

D=1x+4+xx−4+24−x2x2−16D=1x+4+xx−4+24−x2x2−16

Ghi nhớ rằng x2−16x2−16 có thể phân tích thành (x−4)(x+4)(x−4)(x+4).

Biểu thức thứ ba có thể viết lại như sau:

24−x2x2−16=−(x2−24)x2−16=−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4)=−124−x2x2−16=−(x2−24)x2−16=−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4)=−1

Như vậy:

24−x2x2−16=−124−x2x2−16=−1

Do đó, biểu thức DD trở thành:

D=1x+4+xx−4−1D=1x+4+xx−4−1

Tiếp theo, quy đồng mẫu số của 1x+41x+4 và xx−4xx−4:

Mẫu số chung của x+4x+4 và x−4x−4 là (x−4)(x+4)(x−4)(x+4):

1x+4=x−4(x−4)(x+4)1x+4=x−4(x−4)(x+4)

xx−4=x(x+4)(x−4)(x+4)xx−4=x(x+4)(x−4)(x+4)

Vì vậy:

1x+4+xx−4=x−4+x(x+4)(x−4)(x+4)=x−4+x2+4x(x−4)(x+4)=x2+5x−4(x−4)(x+4)1x+4+xx−4=x−4+x(x+4)(x−4)(x+4)=x−4+x2+4x(x−4)(x+4)=x2+5x−4(x−4)(x+4)

Khi trừ 11 từ biểu thức trên:

D=x2+5x−4−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4)D=x2+5x−4−(x−4)(x+4)(x−4)(x+4)

=x2+5x−4−(x2−16)(x−4)(x+4)=x2+5x−4−x2+16(x−4)(x+4)=x2+5x−4−(x2−16)(x−4)(x+4)=x2+5x−4−x2+16(x−4)(x+4)

=5x+12(x−4)(x+4)=5x+12(x−4)(x+4)

=5x−4=5x−4

### c) Tính giá trị của biểu thức DD tại x=10x=10

Thay x=10x=10 vào D=5x−4D=5x−4:

D=510−4=56D=510−4=56

### d) Tìm các số nguyên xx để giá trị của DD là số nguyên

Biểu thức D=5x−4D=5x−4 cần phải là số nguyên, điều đó có nghĩa là x−4x−4 phải là một ước của 5. Các ước của 5 là ±1±1 và ±5±5. Do đó:

x−4=1⇒x=5x−4=1⇒x=5

x−4=−1⇒x=3x−4=−1⇒x=3

x−4=5⇒x=9x−4=5⇒x=9

x−4=−5⇒x=−1x−4=−5⇒x=−1

**Kết luận:**

- Các giá trị nguyên của xx để DD là số nguyên là x=5,3,9,−1x=5,3,9,−1.