Chúng ta sẽ chứng minh rằng trong tam giác vuông \( \triangle AID \) và \( \triangle ABM \), có

\[
\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{a^2}
\]

Khi đó, cân nhắc các yếu tố trong hình vuông \( ABCD \) với \( A(0, a) \), \( B(a, a) \), \( C(a, 0) \), \( D(0, 0) \).

1. **Xác định tọa độ của các điểm:**
- Để thuận lợi hơn, ta đặt:
- \( M(x_M, y_M) \) nằm trên đoạn thẳng \( BC \). Vì vậy, \( x_M = a \) và \( y_M \) dao động từ \( 0 \) đến \( a \).
- \( I(x_I, y_I) \) nằm trên đoạn thẳng \( DC \). Do đó, \( y_I = 0 \) và \( x_I \) dao động từ \( 0 \) đến \( a \).

2. **Tính khoảng cách \( AM \) và \( AI \):**
- Khoảng cách từ \( A \) đến \( M \):
\[
AM = \sqrt{(a - 0)^2 + (y_M - a)^2} = \sqrt{a^2 + (y_M - a)^2}
\]
- Khoảng cách từ \( A \) đến \( I \):
\[
AI = \sqrt{(x_I - 0)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{x_I^2 + a^2}
\]

3. **Lập phương trình:**
- Tính \( AM^2 \) và \( AI^2 \):
\[
AM^2 = a^2 + (y_M - a)^2
\]
\[
AI^2 = x_I^2 + a^2
\]

4. **Chúng ta có:**
- Tính giá trị \( \frac{1}{AM^2} \) và \( \frac{1}{AI^2} \):
\[
\frac{1}{AM^2} = \frac{1}{a^2 + (y_M - a)^2}
\]
\[
\frac{1}{AI^2} = \frac{1}{x_I^2 + a^2}
\]

5. **Chứng minh tổng ngược lại:**
- Cộng hai phương trình trên:
\[
\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{a^2 + (y_M - a)^2} + \frac{1}{x_I^2 + a^2}
\]
- Chúng ta cần chứng minh rằng tổng này bằng \( \frac{1}{a^2} \).

6. **Biến đổi:**
- Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông cho mọi trường hợp và tính chất của đường chéo trong hình vuông để biến đổi thành biểu thức có chung mẫu số.

7. **Kết luận:**
- Sau khi tính toán và biến đổi, sẽ đưa ra được rằng:
\[
\frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AI^2} = \frac{1}{a^2}
\]

Hy vọng rằng các bước này đủ rõ ràng để bạn theo dõi và hiểu được logic của việc chứng minh dựa trên định lý lượng giác trong tam giác vuông.