Để giải bài toán này, chúng ta hãy phân tích từng giai đoạn chuyển động của cả hai người.

### Giai đoạn 1: Trước khi người đi xe đạp dừng lại

- Người đi xe đạp di chuyển với vận tốc \( v_1 = 8 \) km/h trong 30 phút (0.5 giờ):
\[
\text{Quãng đường người đi xe đạp đã đi} = 8 \, \text{km/h} \times 0.5 \, \text{h} = 4 \, \text{km}
\]

- Người đi bộ di chuyển với vận tốc \( v_2 = 4 \) km/h trong 30 phút (0.5 giờ):
\[
\text{Quãng đường người đi bộ đã đi} = 4 \, \text{km/h} \times 0.5 \, \text{h} = 2 \, \text{km}
\]

Tại thời điểm này, khoảng cách giữa hai người là:
\[
4 \, \text{km} + 2 \, \text{km} = 6 \, \text{km}
\]

### Giai đoạn 2: Người đi xe đạp nghỉ 30 phút

Trong 30 phút này, người đi bộ tiếp tục di chuyển thêm:
\[
4 \, \text{km/h} \times 0.5 \, \text{h} = 2 \, \text{km}
\]

Khoảng cách giữa hai người sau 30 phút này là:
\[
6 \, \text{km} + 2 \, \text{km} = 8 \, \text{km}
\]

### Giai đoạn 3: Người đi xe đạp quay lại và đuổi theo người đi bộ

Người đi xe đạp quay lại với vận tốc 8 km/h để đuổi theo người đi bộ. Lúc này, khoảng cách giữa hai người là 8 km và người đi bộ vẫn tiếp tục di chuyển với vận tốc 4 km/h.

Giả sử sau thời gian \( t \) (giờ) người đi xe đạp sẽ đuổi kịp người đi bộ. Trong khoảng thời gian \( t \) này:

- Quãng đường người đi bộ đi được là:
\[
4 \, \text{km/h} \times t = 4t \, \text{km}
\]

- Quãng đường người đi xe đạp đi được là:
\[
8 \, \text{km/h} \times t = 8t \, \text{km}
\]

Để người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ, khoảng cách mà người đi xe đạp đi được phải bằng khoảng cách mà người đi bộ đã đi được cộng với khoảng cách ban đầu (8 km):
\[
8t = 4t + 8
\]

Giải phương trình này để tìm \( t \):
\[
8t - 4t = 8
\]
\[
4t = 8
\]
\[
t = 2 \, \text{giờ}
\]

### Tổng thời gian từ lúc khởi hành

- 30 phút đầu tiên
- 30 phút nghỉ
- 2 giờ đuổi theo

Vậy tổng thời gian từ lúc khởi hành đến khi người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ là:
\[
0.5 \, \text{giờ} + 0.5 \, \text{giờ} + 2 \, \text{giờ} = 3 \, \text{giờ}
\]

Do đó, kể từ lúc khởi hành, sau 3 giờ người đi xe đạp sẽ đuổi kịp người đi bộ.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân chia thành các giai đoạn và tính toán từng phần một.

**Giai đoạn 1: Khởi hành và chuyển động trong 30 phút**

- Người đi xe đạp: Vận tốc \( v_1 = 8 \) km/h
- Người đi bộ: Vận tốc \( v_2 = 4 \) km/h

Sau 30 phút (0,5 giờ), khoảng cách mà mỗi người đã đi:

- Người đi xe đạp:
\[
d_1 = v_1 \times t = 8 \times 0,5 = 4 \text{ km}
\]

- Người đi bộ:
\[
d_2 = v_2 \times t = 4 \times 0,5 = 2 \text{ km}
\]

Tổng khoảng cách giữa hai người sau 30 phút:
\[
D = d_1 + d_2 = 4 + 2 = 6 \text{ km}
\]

**Giai đoạn 2: Người đi xe đạp nghỉ 30 phút**

Trong 30 phút người đi xe đạp nghỉ, người đi bộ sẽ đi thêm một khoảng thời gian:
\[
d_{\text{bo}} = v_2 \times t = 4 \times 0,5 = 2 \text{ km}
\]

Tổng khoảng cách giữa hai người lúc này:
\[
D = 6 + 2 = 8 \text{ km}
\]

**Giai đoạn 3: Người đi xe đạp quay lại và đuổi theo người đi bộ**

Người đi xe đạp quay lại với vận tốc 8 km/h. Khoảng cách cần phải thu hẹp là 8 km.

Để tính thời gian cần thiết cho người đi xe đạp đuổi kịp người đi bộ, ta có thể đặt phương trình thời gian.

Gọi \( t \) là thời gian tính bằng giờ mà người lái xe đạp sẽ đi đuổi theo người đi bộ (sau khi nghỉ):

- Khoảng cách người đi bộ đi trong thời gian \( t \):
\[
D_{\text{bo}} = v_2 \cdot t = 4t \text{ km}
\]

- Khoảng cách người đi xe đạp di chuyển vào thời điểm này là:
\[
D_{\text{xe}} = v_1 \cdot t = 8t \text{ km}
\]

Khi người đi xe đạp quay lại, tổng khoảng cách mà người đi xe đạp đã di chuyển (bao gồm cả khoảng cách đã thu hẹp) sẽ bằng khoảng cách mà người đi bộ đã đi cộng với khoảng cách 8 km mà người đi bộ đã đi được.

Công thức là:
\[
8t = 8 + 4t
\]

Giải phương trình này:
\[
8t - 4t = 8 \\
4t = 8 \\
t = 2 \text{ giờ}
\]

**Tính tổng thời gian kể từ lúc khởi hành:**

- 30 phút đầu tiên di chuyển
- 30 phút nghỉ (khi người đi xe đạp dừng lại)
- 2 giờ đuổi theo

Tổng thời gian \( T \):
\[
T = 0,5 + 0,5 + 2 = 3 \text{ giờ}
\]

**Kết quả:**
Người đi xe đạp sẽ đuổi kịp người đi bộ sau 3 giờ kể từ lúc khởi hành.