Cho tam giác \( DEF \) vuông tại \( D \), \( DK \) là đường cao. Biết \( DF = 24 \) cm và \( EF = 25 \) cm.

1) **Tính \( DE \) và \( DK \)**

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( DEF \):

\[ EF^2 = DE^2 + DF^2 \]

Thay các giá trị đã biết vào:

\[ 25^2 = DE^2 + 24^2 \]

\[ 625 = DE^2 + 576 \]

\[ DE^2 = 625 - 576 \]

\[ DE^2 = 49 \]

\[ DE = \sqrt{49} = 7 \text{ cm} \]

Tiếp theo, để tính đường cao \( DK \), ta sử dụng công thức liên quan đến tam giác vuông:

\[ DK = \frac{DE \times DF}{EF} \]

Thay các giá trị vào:

\[ DK = \frac{7 \times 24}{25} \]

\[ DK = \frac{168}{25} \]

\[ DK = 6.72 \text{ cm} \]

2) **Tính số đo góc \( \angle E \), \( \angle F \) và tính độ dài của \( KE \), \( KF \)**

Tính góc \( \angle E \) và \( \angle F \):

- Sử dụng hàm số lượng giác trong tam giác vuông \( DEF \):

\[ \cos \angle E = \frac{DE}{EF} = \frac{7}{25} \]

\[ \sin \angle E = \frac{DF}{EF} = \frac{24}{25} \]

Suy ra:

\[ \angle E = \arccos \left( \frac{7}{25} \right) \]

Tương tự:

\[ \cos \angle F = \frac{DF}{EF} = \frac{24}{25} \]

\[ \sin \angle F = \frac{DE}{EF} = \frac{7}{25} \]

Suy ra:

\[ \angle F = \arccos \left( \frac{24}{25} \right) \]

Các góc này có thể được tính bằng máy tính bỏ túi hoặc phần mềm tính toán.

Tính độ dài \( KE \) và \( KF \):

Trong tam giác vuông, đường cao \( DK \) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ hơn, \( DKE \) và \( DKF \), có thể sử dụng các công thức liên quan:

- Sử dụng định lý hình chiếu:

\[ DK^2 = KE \times KF \]

Để tính \( KE \) và \( KF \), chúng ta sử dụng công thức:

\[ KE = \frac{DE^2}{EF} = \frac{7^2}{25} = \frac{49}{25} = 1.96 \text{ cm} \]

\[ KF = \frac{DF^2}{EF} = \frac{24^2}{25} = \frac{576}{25} = 23.04 \text{ cm} \]

Tóm lại:
1. \( DE = 7 \text{ cm} \)
2. \( DK = 6.72 \text{ cm} \)
3. Góc \( \angle E \approx 16.26^\circ \) và góc \( \angle F \approx 73.74^\circ \)
4. \( KE = 1.96 \text{ cm} \) và \( KF = 23.04 \text{ cm} \)