Chúng ta sẽ giải từng phần bài toán theo yêu cầu của bạn.

### Bài 3: Chứng minh \( AOAC = AOBC \)

**Giả thiết:**
- Oz là tia phân giác của \(\angle xOy\).
- \(A\) là điểm trên tia \(Ox\), \(B\) là điểm trên tia \(Oy\) sao cho \(OA = OB\).

**Chứng minh:**

1. **Tia phân giác:**
- Tia phân giác Oz chia \(\angle xOy\) thành hai góc bằng nhau:
\[
\angle AOz = \angle BOz
\]

2. **Tính chất cạnh:**
- Do \(OA = OB\) (theo giả thiết).

3. **Sử dụng định lý về tam giác:**
- Ta có các tọa độ:
- \(O, A, C\) nằm trên cùng một mặt phẳng.
- \(O, B, C\) cũng nằm trên cùng một mặt phẳng.

4. **Xét các tam giác:**
- Ta có:
\[
\triangle OAC \text{ và } \triangle OBC
\]
- Theo định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta có:
- \(OA = OB\), \(\angle AOz = \angle BOz\), và do đó:
\[
AOAC \cong AOBC
\]

5. **Kết luận:**
\[
AOAC = AOBC
\]

---

### Bài 4: Chứng minh \( \triangle ABC \cong \triangle ADE \)

**Giả thiết:**
- Cho \(\angle xAy\).
- Lấy điểm \(B\) trên đường thẳng \(Ax\) và điểm \(D\) trên đường thẳng \(Ay\) sao cho \(AB = AD\).
- Lấy \(E\) trên tia đối của tia \(Bx\) và \(C\) trên tia \(Dy\) sao cho \(BE = DC\).

**Chứng minh:**

1. **Cạnh đối:**
- Theo giả thiết \(AB = AD\).

2. **Cạnh tương ứng:**
- Theo giả thiết \(BE = DC\).

3. **Góc chung:**
- Ta có góc \(\angle ABE\) là góc chung của tam giác \(ABC\) và tam giác \(ADE\).

4. **Sử dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c):**
- Với \(AB = AD\), \(BE = DC\), và góc \(\angle ABE\) chung, ta có:
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADE
\]

5. **Kết luận:**
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADE
\]

---

Như vậy, ta đã chứng minh thành công các yêu cầu trong bài toán. Nếu bạn có thêm câu hỏi hoặc cần những phần khác, xin hãy cho tôi biết!

Để chứng minh hai yêu cầu trên, chúng ta sẽ sử dụng những thuộc tính của các hình học trong mặt phẳng, đặc biệt là các định lý liên quan đến đường thẳng, góc, và các tam giác. Chúng ta xem xét từng bài một:

### Bài 3

**Cho Oz là tia phân giác của xOy. Trên các tia Ox, Oy, Oz, lần lượt lấy các điểm \( A, B, C \) (khác \( O \)) sao cho \( OA = OB \). Chứng minh rằng \( \angle AOZ = \angle BOZ \).**

Thật ra, yêu cầu là chứng minh \( AOAC = AOBC \).

#### Chứng minh:

1. **Điều kiện cho \( A \) và \( B \)**: Theo giả thiết, \( OA = OB \). Do đó, điểm A và B đều nằm trên hai tia Ox và Oy với khoảng cách từ O đến các điểm A và B là như nhau, đồng nghĩa với việc \( OA = OB \).

2. **Xác định các góc**:
- Trong tam giác OAC và OBC, góc Oz (tia phân giác) chia đều góc xOy thành hai góc bằng nhau. Theo định nghĩa tia phân giác:
\[
\angle AOZ = \angle BOZ
\]

3. **Diện tích của hai tam giác**:
- Sử dụng công thức diện tích tam giác:
\[
S_{OAC} = \frac{12} \cdot OA \ot OC \cdot \sin(\angle AOC)
\]
\[
S_{OBC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OC \cdot \sin(\angle BOC)
\]

4. **Chứng minh \( S_{OAC} = S_{OBC} \)**:
- Vì \( OA = OB \) và \( \angle AOC = \angle BOC \) (tại góc OZ của tia phân giác) nên diện tích của hai tam giác này sẽ bằng nhau.

Kết luận:
\[
S_{OAC} = S_{OBC}
\]
Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
AOAC = AOBC
\]
### Bài 4

**Cho \( \angle xAy \), lấy điểm \( \) trên \( Ax \) và điểm \( D \) trên \( Ay \) sao cho \( AB = AD \). Trên tia đối của tia \( Bx \) lấy điểm \( E \) và trên tia \( Dy \) lấy điểm \( C \) sao cho \( BE = DC \). Chứng minh tam giác \( ABC = \) tam giác \( ADE \).**

#### Chứng minh:

1. **Điều kiện ban đầu**: Theo giả thiết, ta có
- \( AB = AD \)
- Gọi \( AP = x \) là độ dài của đoạn thẳng.

2. **Tại điểm \( E \) và \( C \)**:
Theo giả thiết \( BE = DC \), ta có:
- Gọi \( BC = EC = y \).

3. **Tam giác \( ABC \) và tam giác \( ADE \)**:
- Ta xem xét một số thuộc tính của tam giác:
- \( BC = EC \), mà \( AB = AD \) theo giả thiết. Hơn nữa, đầu mút tam giác tương ứng với nhau như hình đã thiết lập.

4. **Góc của tam giác**:
- Do \( BE \) là đoạn thẳng nằm trên tia đối của tia \( Bx \) và \( AD \) thông qua \( A \) thì \( \angle A \) nằm chéo và các góc giữa các cạnh trong hai tam giác sẽ bằng nhau.

Kết luận: Từ các điều kiện đã nêu, ta thấy được rằng
\[
AB = AD, BE = DC , \text{ và } \angle A = \angle A.
\]

Do đó:
\[
\triangle ABC \cong \triangle ADE
\]

### Tóm lại:
Cả hai bài đều đã chứng minh được theo các quy tắc và tính chất hình học liên quan đến các tam giác và các tia phân giác hay tia đối.