Để chứng minh rằng \(3^{2n+1} + 2^{2n+2}\) chia hết cho 7, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp. Dưới đây là các bước cụ thể:

### Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ bản

Kiểm tra trường hợp \(n = 0\):

\[
3^{2 \cdot 0 + 1} + 2^{2 \cdot 0 + 2} = 3^1 + 2^2 = 3 + 4 = 7
\]

7 chia hết cho 7, nên điều này đúng với \(n = 0\).

### Bước 2: Giả thiết quy nạp

Giả sử rằng điều cần chứng minh đúng với một số nguyên \(k\), tức là:

\[
3^{2k+1} + 2^{2k+2} \text{ chia hết cho 7}
\]

### Bước 3: Chứng minh điều cần chứng minh với \(n = k + 1\)

Ta cần chứng minh rằng:

\[
3^{2(k+1)+1} + 2^{2(k+1)+2}
\]

chia hết cho 7. Ta có:

\[
3^{2(k+1)+1} = 3^{2k+3}
\]
\[
2^{2(k+1)+2} = 2^{2k+4}
\]

Vì vậy, ta cần chứng minh rằng:

\[
3^{2k+3} + 2^{2k+4}
\]

chia hết cho 7.

### Bước 4: Sử dụng giả thiết quy nạp

Theo giả thiết quy nạp, ta có:

\[
3^{2k+1} + 2^{2k+2} \text{ chia hết cho 7}
\]

Ta có thể viết:

\[
3^{2k+3} = 3^2 \cdot 3^{2k+1} = 9 \cdot 3^{2k+1}
\]
\[
2^{2k+4} = 4 \cdot 2^{2k+2}
\]

Do đó:

\[
3^{2k+3} + 2^{2k+4} = 9 \cdot 3^{2k+1} + 4 \cdot 2^{2k+2}
\]

Vì \(9 \equiv 2 \pmod{7}\) và \(4 \equiv -3 \pmod{7}\), ta có:

\[
9 \cdot 3^{2k+1} + 4 \cdot 2^{2k+2} \equiv 2 \cdot 3^{2k+1} - 3 \cdot 2^{2k+2} \pmod{7}
\]

Theo giả thiết quy nạp:

\[
3^{2k+1} + 2^{2k+2} \equiv 0 \pmod{7}
\]

Ta có:

\[
2 \cdot 3^{2k+1} - 3 \cdot 2^{2k+2} \equiv 2 \cdot (-2^{2k+2}) - 3 \cdot 2^{2k+2} \pmod{7}
\]
\[
= -2 \cdot 2^{2k+2} - 3 \cdot 2^{2k+2}
\]
\[
= -5 \cdot 2^{2k+2}
\]

Ta biết rằng \(2^{2k+2} \equiv 0 \pmod{7}\), nên:

\[
-5 \cdot 2^{2k+2} \equiv 0 \pmod{7}
\]

Vậy:

\[
3^{2k+3} + 2^{2k+4} \text{ chia hết cho 7}
\]

### Kết luận

Vì trường hợp cơ bản đã đúng và bước quy nạp đã được chứng minh, điều này chứng tỏ rằng \(3^{2n+1} + 2^{2n+2}\) chia hết cho 7 với mọi số nguyên không âm \(n\).

Để chứng minh rằng biểu thức \( 3^{2n+1} + 2^{2n+2} \) chia hết cho 7 với mọi số nguyên không âm \( n \), chúng ta sẽ sử dụng quy nạp.

### Bước 1: Kiểm tra trường hợp cơ sở

Trường hợp \( n = 0 \):

\[
3^{2 \cdot 0 + 1} + 2^{2 \cdot 0 + 2} = 3^1 + 2^2 = 3 + 4 = 7,
\]

mà \( 7 \) chia hết cho \( 7 \). Vậy điều này đúng cho \( n = 0 \).

### Bước 2: Giả thiết quy nạp

Giả sử rằng điều kiện đúng với \( n = k \), tức là:

\[
3^{2k+1} + 2^{2k+2} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7).
\]

### Bước 3: Chứng minh cho \( n = k + 1 \)

Cần chứng minh rằng:

\[
3^{2(k+1)+1} + 2^{2(k+1)+2} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7).
\]

Rút gọn biểu thức:

\[
3^{2(k+1) + 1} + 2^{2(k+1) + 2} = 3^{2k + 2 + 1} + 2^{2k + 2 + 2} = 3^{2k+3} + 2^{2k+4}.
\]

Chúng ta có:

\[
3^{2k + 3} = 3^{2k + 1} \cdot 3^2,
\]
\[
2^{2k + 4} = 2^{2k + 2} \cdot 2^2.
\]

Vậy ta có thể viết lại:

\[
3^{2k+3} + 2^{2k+4} = 3^{2k+1} \cdot 9 + 2^{2k+2} \cdot 4.
\]

Tiếp theo, ta sử dụng tính đồng dư modulo \( 7 \):

\[
9 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 7) \quad \text{và} \quad 4 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7).
\]

Vậy ta có:

\[
3^{2k+3} + 2^{2k+4} \equiv 2 \cdot 3^{2k+1} + 4 \cdot 2^{2k+2} \ (\text{mod} \ 7).
\]

Từ giả thiết quy nạp, ta biết rằng \( 3^{2k+1} + 2^{2k+2} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \), tức là:

\[
2 \cdot 3^{2k+1} + 4 \cdot 2^{2k+2} = 2 \cdot 3^{2k+1} + 4 \cdot (7m - 3^{2k+1}) \quad \text{(vì từ giả thiết)}.
\]

Ta có thể viết thành:

\[
= 2 \cdot 3^{2k+1} + 28m - 12 \cdot 3^{2k+1} = -10 \cdot 3^{2k + 1} + 28m.
\]

Dễ thấy \( -10 \cdot 3^{2k + 1} \) là bội số của \( 7 \).

Từ đó, chúng ta thấy rằng:

\[
3^{2k + 3} + 2^{2k + 4} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7).
\]

### Kết luận

Vì nó đúng cho \( n = 0 \) và nếu đúng cho \( n = k \) thì cũng đúng cho \( n = k + 1 \), bởi vậy theo nguyên lý quy nạp, ta kết luận rằng:

\[
3^{2n+1} + 2^{2n+2} \equiv 0 \ (\text{mod} \ 7) \quad \forall n \geq 0.
\]

Vậy hoàn thành!