Để chứng minh rằng \(x < z < y\) với các giá trị \(x\), \(y\), và \(z\) như sau:

\[
x = \frac{a}{b}, \quad y = \frac{c}{b}, \quad z = \frac{a + c}{2b}
\]

với \(b > 0\) và \(x < y\), chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Chứng minh \(x < z\)

Ta có:

\[
x = \frac{a}{b}, \quad z = \frac{a + c}{2b}
\]

Để chứng minh \(x < z\), so sánh hai giá trị này:

\[
\frac{a}{b} < \frac{a + c}{2b}
\]

Nhân cả hai vế với \(2b\) để loại bỏ mẫu số:

\[
2a < a + c
\]

Giảm bớt \(a\) từ cả hai vế:

\[
a < c
\]

Vì điều kiện đã cho là \(x < y\), nghĩa là:

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{b}
\]

Điều này tương đương với \(a < c\). Do đó, bất đẳng thức \(a < c\) là đúng và do đó:

\[
x < z
\]

### 2. Chứng minh \(z < y\)

Ta có:

\[
y = \frac{c}{b}, \quad z = \frac{a + c}{2b}
\]

Để chứng minh \(z < y\), so sánh hai giá trị này:

\[
\frac{a + c}{2b} < \frac{c}{b}
\]

Nhân cả hai vế với \(2b\) để loại bỏ mẫu số:

\[
a + c < 2c
\]

Giảm bớt \(c\) từ cả hai vế:

\[
a < c
\]

Vì điều kiện đã cho là \(x < y\), nghĩa là:

\[
\frac{a}{b} < \frac{c}{b}
\]

Điều này tương đương với \(a < c\). Do đó, bất đẳng thức \(a < c\) là đúng và do đó:

\[
z < y
\]

### Kết luận

Kết hợp cả hai kết quả, chúng ta có:

\[
x < z < y
\]

Như vậy, với điều kiện \(x < y\), ta đã chứng minh được rằng \(x < z < y\).