Để chứng minh điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) khi và chỉ khi \(\angle BAC = 90^\circ\), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học, đặc biệt là tính chất của đường tròn và tam giác vuông.

### Chứng minh \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) khi \(\angle BAC = 90^\circ\):

Giả sử ta có tam giác \(ABC\) với \(\angle BAC = 90^\circ\).

Theo tính chất của tam giác vuông, nếu một tam giác có một góc vuông, thì cạnh đối diện với góc vuông sẽ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy trong tam giác \(ABC\) có \(\angle BAC = 90^\circ\), ta có:
- \(\angle BCA\) là góc nhọn
- \(\angle CBA\) là góc nhọn
- \(\angle BAC = 90^\circ\)

Ta xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Đường kính của đường tròn này sẽ là cạnh \(BC\) vì góc nội tiếp \(\angle BAC\) chắn nửa đường tròn.

Do đó, điểm \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

### Chứng minh \(\angle BAC = 90^\circ\) khi \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\):

Giả sử điểm \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

Khi đó, ta có đường tròn với đường kính \(BC\). Theo tính chất của đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Vì \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\), góc nội tiếp \(\angle BAC\) sẽ là góc vuông.

Do đó, \(\angle BAC = 90^\circ\).

### Kết luận:
Qua hai phần chứng minh trên, ta thấy rằng:
- Nếu \(\angle BAC = 90^\circ\) thì điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).
- Nếu điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) thì \(\angle BAC = 90^\circ\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) khi và chỉ khi \(\angle BAC = 90^\circ\).

Để chứng minh điểm A? thuộc đường tròn đường kính BC?? khi và chỉ khi ∠BAC=90∘∠???=90∘, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học, đặc biệt là tính chất của đường tròn và tam giác vuông.

### Chứng minh A? thuộc đường tròn đường kính BC?? khi ∠BAC=90∘∠???=90∘:

Giả sử ta có tam giác ABC??? với ∠BAC=90∘∠???=90∘.

Theo tính chất của tam giác vuông, nếu một tam giác có một góc vuông, thì cạnh đối diện với góc vuông sẽ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy trong tam giác ABC??? có ∠BAC=90∘∠???=90∘, ta có:
- ∠BCA∠??? là góc nhọn
- ∠CBA∠??? là góc nhọn
- ∠BAC=90∘∠???=90∘

Ta xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC???. Đường kính của đường tròn này sẽ là cạnh BC?? vì góc nội tiếp ∠BAC∠??? chắn nửa đường tròn.

Do đó, điểm A? nằm trên đường tròn đường kính BC??.

### Chứng minh ∠BAC=90∘∠???=90∘ khi A? thuộc đường tròn đường kính BC??:

Giả sử điểm A? nằm trên đường tròn đường kính BC??.

Khi đó, ta có đường tròn với đường kính BC??. Theo tính chất của đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Vì A? nằm trên đường tròn đường kính BC??, góc nội tiếp ∠BAC∠??? sẽ là góc vuông.

Do đó, ∠BAC=90∘∠???=90∘.

### Kết luận:
Qua hai phần chứng minh trên, ta thấy rằng:
- Nếu ∠BAC=90∘∠???=90∘ thì điểm A? thuộc đường tròn đường kính BC??.
- Nếu điểm A? thuộc đường tròn đường kính BC?? thì ∠BAC=90∘∠???=90∘.

Vậy, ta đã chứng minh rằng điểm A? thuộc đường tròn đường kính BC?? khi và chỉ khi ∠BAC=90∘∠???=90∘.