Để chứng minh điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) khi và chỉ khi \(\angle BAC = 90^\circ\), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học, đặc biệt là tính chất của đường tròn và tam giác vuông.

### Chứng minh \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) khi \(\angle BAC = 90^\circ\):

Giả sử ta có tam giác \(ABC\) với \(\angle BAC = 90^\circ\).

Theo tính chất của tam giác vuông, nếu một tam giác có một góc vuông, thì cạnh đối diện với góc vuông sẽ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy trong tam giác \(ABC\) có \(\angle BAC = 90^\circ\), ta có:
- \(\angle BCA\) là góc nhọn
- \(\angle CBA\) là góc nhọn
- \(\angle BAC = 90^\circ\)

Ta xét đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Đường kính của đường tròn này sẽ là cạnh \(BC\) vì góc nội tiếp \(\angle BAC\) chắn nửa đường tròn.

Do đó, điểm \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

### Chứng minh \(\angle BAC = 90^\circ\) khi \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\):

Giả sử điểm \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\).

Khi đó, ta có đường tròn với đường kính \(BC\). Theo tính chất của đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Vì \(A\) nằm trên đường tròn đường kính \(BC\), góc nội tiếp \(\angle BAC\) sẽ là góc vuông.

Do đó, \(\angle BAC = 90^\circ\).

### Kết luận:
Qua hai phần chứng minh trên, ta thấy rằng:
- Nếu \(\angle BAC = 90^\circ\) thì điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\).
- Nếu điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) thì \(\angle BAC = 90^\circ\).

Vậy, ta đã chứng minh rằng điểm \(A\) thuộc đường tròn đường kính \(BC\) khi và chỉ khi \(\angle BAC = 90^\circ\).

Để chứng minh điểm A𝐴 thuộc đường tròn đường kính BC𝐵𝐶 khi và chỉ khi ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học, đặc biệt là tính chất của đường tròn và tam giác vuông.

### Chứng minh A𝐴 thuộc đường tròn đường kính BC𝐵𝐶 khi ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘:

Giả sử ta có tam giác ABC𝐴𝐵𝐶 với ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘.

Theo tính chất của tam giác vuông, nếu một tam giác có một góc vuông, thì cạnh đối diện với góc vuông sẽ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Vậy trong tam giác ABC𝐴𝐵𝐶 có ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘, ta có:
- ∠BCA∠𝐵𝐶𝐴 là góc nhọn
- ∠CBA∠𝐶𝐵𝐴 là góc nhọn
- ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘

Ta xét đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC𝐴𝐵𝐶. Đường kính của đường tròn này sẽ là cạnh BC𝐵𝐶 vì góc nội tiếp ∠BAC∠𝐵𝐴𝐶 chắn nửa đường tròn.

Do đó, điểm A𝐴 nằm trên đường tròn đường kính BC𝐵𝐶.

### Chứng minh ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘ khi A𝐴 thuộc đường tròn đường kính BC𝐵𝐶:

Giả sử điểm A𝐴 nằm trên đường tròn đường kính BC𝐵𝐶.

Khi đó, ta có đường tròn với đường kính BC𝐵𝐶. Theo tính chất của đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Vì A𝐴 nằm trên đường tròn đường kính BC𝐵𝐶, góc nội tiếp ∠BAC∠𝐵𝐴𝐶 sẽ là góc vuông.

Do đó, ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘.

### Kết luận:
Qua hai phần chứng minh trên, ta thấy rằng:
- Nếu ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘ thì điểm A𝐴 thuộc đường tròn đường kính BC𝐵𝐶.
- Nếu điểm A𝐴 thuộc đường tròn đường kính BC𝐵𝐶 thì ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘.

Vậy, ta đã chứng minh rằng điểm A𝐴 thuộc đường tròn đường kính BC𝐵𝐶 khi và chỉ khi ∠BAC=90∘∠𝐵𝐴𝐶=90∘.