Để tính nhanh biểu thức \( \frac{1}{2} + \frac{5}{6} + \frac{11}{12} + \frac{19}{20} + \frac{29}{30} + \frac{41}{42} + \frac{55}{56} + \frac{71}{72} + \frac{89}{90} \), ta có thể tính từng phần một.

### Bước 1: Rút gọn các phân số

- \(\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
- \(\frac{5}{6} = 1 - \frac{1}{6}\)
- \(\frac{11}{12} = 1 - \frac{1}{12}\)
- \(\frac{19}{20} = 1 - \frac{1}{20}\)
- \(\frac{29}{30} = 1 - \frac{1}{30}\)
- \(\frac{41}{42} = 1 - \frac{1}{42}\)
- \(\frac{55}{56} = 1 - \frac{1}{56}\)
- \(\frac{71}{72} = 1 - \frac{1}{72}\)
- \(\frac{89}{90} = 1 - \frac{1}{90}\)

### Bước 2: Cộng các phân số

Số lượng \(1\) từ mỗi phân số:
- Tổng số 1: \(8\)

### Bước 3: Cộng các phân số còn lại

Cộng các phân số:
\[
\frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + \frac{1}{30} + \frac{1}{42} + \frac{1}{56} + \frac{1}{72} + \frac{1}{90}
\]

### Bước 4: Tính tổng các phân số

Tìm mẫu số chung. Mẫu số chung nhỏ nhất là 2520.

Tính từng phân số:
- \(\frac{1}{6} = \frac{420}{2520}\)
- \(\frac{1}{12} = \frac{210}{2520}\)
- \(\frac{1}{20} = \frac{126}{2520}\)
- \(\frac{1}{30} = \frac{84}{2520}\)
- \(\frac{1}{42} = \frac{60}{2520}\)
- \(\frac{1}{56} = \frac{45}{2520}\)
- \(\frac{1}{72} = \frac{35}{2520}\)
- \(\frac{1}{90} = \frac{28}{2520}\)

### Bước 5: Cộng các phân số lại

Tổng:
\[
420 + 210 + 126 + 84 + 60 + 45 + 35 + 28 = 1008
\]

### Bước 6: Kết hợp lại

Tổng các phân số:
\[
\frac{1008}{2520} = \frac{42}{105} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5}
\]

### Bước 7: Tổng lại

Tổng lại:
\[
8 - \frac{2}{5} = \frac{40}{5} - \frac{2}{5} = \frac{38}{5} = 7.6
\]

### Kết luận

Tổng của biểu thức là:
\[
\boxed{7.6}
\]