### Rút gọn đa thức \(A\)

Đa thức \(A\) được cho là:
\[ A = x^3 + 2xy - 2x^3 + 2y^3 + 2x^3 - y^3 \]

Đầu tiên, nhóm các hạng tử cùng loại lại với nhau:
\[ A = (x^3 - 2x^3 + 2x^3) + 2xy + (2y^3 - y^3) \]

Sau đó, thực hiện phép tính trong từng nhóm:
\[ A = (x^3 - 2x^3 + 2x^3) + 2xy + (2y^3 - y^3) \]
\[ A = x^3 - 2x^3 + 2x^3 + 2xy + 2y^3 - y^3 \]
\[ A = (x^3 - 2x^3 + 2x^3) + 2xy + (2y^3 - y^3) \]
\[ A = x^3 + 2xy + y^3 \]

### Tìm bậc của đa thức \(A\)

Đa thức đã rút gọn là:
\[ A = x^3 + 2xy + y^3 \]

Bậc của một đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất. Trong đa thức này, hạng tử có bậc cao nhất là \(x^3\) và \(y^3\), cả hai đều có bậc là 3. Vì vậy, bậc của đa thức \(A\) là 3.

### Tính giá trị của đa thức \(A\) tại \(x = 2\) và \(y = -3\)

Thay giá trị \(x = 2\) và \(y = -3\) vào đa thức đã rút gọn:
\[ A = x^3 + 2xy + y^3 \]
\[ A = (2)^3 + 2(2)(-3) + (-3)^3 \]

Tính từng hạng tử một:
\[ (2)^3 = 8 \]
\[ 2(2)(-3) = 2 \cdot 2 \cdot (-3) = -12 \]
\[ (-3)^3 = -27 \]

Cộng các giá trị lại:
\[ A = 8 - 12 - 27 \]
\[ A = 8 - 12 - 27 \]
\[ A = -4 - 27 \]
\[ A = -31 \]

Vậy giá trị của đa thức \(A\) tại \(x = 2\) và \(y = -3\) là:
\[ A = -31 \]

 
Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Tính giá trị của đa thức A = x^3 + 2xy - 2x^3 + 2y^3 + 2x^3 - y^3 tại x = 2, y = -3

Đầu tiên, rút gọn đa thức A: A=x3−2x3+2x3+2xy+2y3−y3A = x^3 - 2x^3 + 2x^3 + 2xy + 2y^3 - y^3A=x3−2x3+2x3+2xy+2y3−y3 A=3x3+2xy+y3A = 3x^3 + 2xy + y^3A=3x3+2xy+y3

Giờ tính giá trị của A tại x = 2, y = -3: A=3(2)3+2(2)(−3)+(−3)3A = 3(2)^3 + 2(2)(-3) + (-3)^3A=3(2)3+2(2)(−3)+(−3)3 A=3⋅8+2⋅(−6)+(−27)A = 3 \cdot 8 + 2 \cdot (-6) + (-27)A=3⋅8+2⋅(−6)+(−27) A=24−12−27A = 24 - 12 - 27A=24−12−27 A=−15A = -15A=−15

Vậy giá trị của đa thức A tại x = 2, y = -3 là −15-15−15.

b) Tính giá trị của đa thức B = xy + x^2y^2 - x^4y^4 + x^6y^6 - x^8y^8 tại x = 1, y = -1

Đa thức B đã được rút gọn, chúng ta tính giá trị của nó tại x = 1, y = -1: B=(1)(−1)+(1)2(−1)2−(1)4(−1)4+(1)6(−1)6−(1)8(−1)8B = (1)(-1) + (1)^2(-1)^2 - (1)^4(-1)^4 + (1)^6(-1)^6 - (1)^8(-1)^8B=(1)(−1)+(1)2(−1)2−(1)4(−1)4+(1)6(−1)6−(1)8(−1)8 B=−1+1−1+1−1B = -1 + 1 - 1 + 1 - 1B=−1+1−1+1−1 B=−1B = -1B=−1

Vậy giá trị của đa thức B tại x = 1, y = -1 là −1-1−1.

c) Tính giá trị của đa thức C = xy + x^2y^2 + x^3y^3 +...+ x^10y^10 tại x = -1, y = 1

Đa thức C có dạng tổng của các thành phần xkykx^ky^kxkyk từ k=1k = 1k=1 đến k=10k = 10k=10. Tại x=−1,y=1x = -1, y = 1x=−1,y=1, các thành phần này luân phiên là −1-1−1 và 111:

C=(−1)(1)+(−1)2(1)2+(−1)3(1)3+…+(−1)10(1)10C = (-1)(1) + (-1)^2(1)^2 + (-1)^3(1)^3 + \ldots + (-1)^{10}(1)^{10}C=(−1)(1)+(−1)2(1)2+(−1)3(1)3+…+(−1)10(1)10

Đếm số lượng thành phần âm và dương:

Các số lẻ từ k=1,3,5,7,9k = 1, 3, 5, 7, 9k=1,3,5,7,9 cho giá trị âm: 1,−1,1,−1,11, -1, 1, -1, 11,−1,1,−1,1
Các số chẵn từ k=2,4,6,8,10k = 2, 4, 6, 8, 10k=2,4,6,8,10 cho giá trị dương: 1,1,1,1,11, 1, 1, 1, 11,1,1,1,1
Tổng các giá trị này: C=−1+1−1+1−1+1−1+1−1+1C = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1C=−1+1−1+1−1+1−1+1−1+1 C=−1C = -1C=−1

Vậy giá trị của đa thức C tại x = -1, y = 1 là −1-1−1.

Kết quả cuối cùng: a) A=−15A = -15A=−15 b) B=−1B = -1B=−1 c) C=−1C = -1C=−1