Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước:

### Rút gọn đa thức \( A \)

Đa thức \( A \) được cho là:
\[ A = x^3 + 2xy - 2x^3 + 2y^3 + 2x^3 - y^3 \]

Nhóm các thành phần tương tự để rút gọn đa thức:
\[ A = (x^3 - 2x^3 + 2x^3) + 2xy + (2y^3 - y^3) \]

Thực hiện phép tính:
\[ A = x^3 - 2x^3 + 2x^3 + 2xy + 2y^3 - y^3 \]
\[ A = x^3 + 2xy + y^3 \]

### Tìm bậc của đa thức \( A \)

Đa thức sau khi rút gọn là:
\[ A = x^3 + 2xy + y^3 \]

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc lớn nhất, trong trường hợp này là \( x^3 \) và \( y^3 \), cả hai đều có bậc là 3. Vì vậy, bậc của đa thức \( A \) là 3.

### Tính giá trị của đa thức \( A \) tại \( x = 2 \) và \( y = -3 \)

Để tính giá trị của đa thức \( A \) tại \( x = 2 \) và \( y = -3 \), thay các giá trị này vào đa thức đã rút gọn:
\[ A = x^3 + 2xy + y^3 \]

Thay \( x = 2 \) và \( y = -3 \):
\[ A = (2)^3 + 2(2)(-3) + (-3)^3 \]

Tính toán từng phần tử:
\[ (2)^3 = 8 \]
\[ 2(2)(-3) = -12 \]
\[ (-3)^3 = -27 \]

Cộng các giá trị lại:
\[ A = 8 - 12 - 27 \]
\[ A = -31 \]

Vậy, giá trị của đa thức \( A \) tại \( x = 2 \) và \( y = -3 \) là:
\[ A = -31 \]

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần:

a) Đa thức A = x^3 + 2xy - 2x^3 + 2y^3 + 2x^3 - y^3

Đầu tiên, rút gọn đa thức A: A=x3−2x3+2x3+2xy+2y3−y3A = x^3 - 2x^3 + 2x^3 + 2xy + 2y^3 - y^3A=x3−2x3+2x3+2xy+2y3−y3 A=3x3+2xy+y3A = 3x^3 + 2xy + y^3A=3x3+2xy+y3

Giờ tính giá trị của A tại x = 2, y = -3: A=3(2)3+2(2)(−3)+(−3)3A = 3(2)^3 + 2(2)(-3) + (-3)^3A=3(2)3+2(2)(−3)+(−3)3 A=3⋅8+2⋅(−6)+(−27)A = 3 \cdot 8 + 2 \cdot (-6) + (-27)A=3⋅8+2⋅(−6)+(−27) A=24−12−27A = 24 - 12 - 27A=24−12−27 A=−15A = -15A=−15

Vậy giá trị của đa thức A tại x = 2, y = -3 là −15-15−15.

b) Đa thức B = xy + x^2 y^2 - x^4 y^4 + x^6 y^6 - x^8 y^8

Tại x = 1, y = -1: B=(1)(−1)+(1)2(−1)2−(1)4(−1)4+(1)6(−1)6−(1)8(−1)8B = (1)(-1) + (1)^2(-1)^2 - (1)^4(-1)^4 + (1)^6(-1)^6 - (1)^8(-1)^8B=(1)(−1)+(1)2(−1)2−(1)4(−1)4+(1)6(−1)6−(1)8(−1)8 B=−1+1−1+1−1B = -1 + 1 - 1 + 1 - 1B=−1+1−1+1−1 B=−1B = -1B=−1

Vậy giá trị của đa thức B tại x = 1, y = -1 là −1-1−1.

c) Đa thức C = xy + x^2 y^2 + x^3 y^3 +...+ x^10 y^10

Tại x = -1, y = 1, các thành phần của đa thức C lần lượt là -1, 1, -1, 1,..., -1. Các hạng tử này luân phiên dương và âm.

Đếm số lượng các hạng tử âm và dương:

Các số lẻ từ k=1,3,5,7,9k = 1, 3, 5, 7, 9k=1,3,5,7,9 cho giá trị âm: −1,−1,−1,−1,−1-1, -1, -1, -1, -1−1,−1,−1,−1,−1
Các số chẵn từ k=2,4,6,8,10k = 2, 4, 6, 8, 10k=2,4,6,8,10 cho giá trị dương: 1,1,1,1,11, 1, 1, 1, 11,1,1,1,1
Tổng các giá trị này: C=−1−1−1−1−1+1+1+1+1+1C = -1 - 1 - 1 - 1 - 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1C=−1−1−1−1−1+1+1+1+1+1 C=−5+5C = -5 + 5C=−5+5 C=0C = 0C=0

Vậy giá trị của đa thức C tại x = -1, y = 1 là 000.

Kết quả cuối cùng: a) A=−15A = -15A=−15 b) B=−1B = -1B=−1 c) C=0C = 0C=0