### Phần a)

Giải bất phương trình: \((x + 1) \cdot \left(x + \frac{3}{2}\right) < 0\)

Để giải bất phương trình này, ta xác định các điểm làm cho biểu thức bằng 0, đó là \(x = -1\) và \(x = -\frac{3}{2}\).

Vẽ trục số và xét các khoảng nghiệm:
1. \(x < -\frac{3}{2}\)
2. \(-\frac{3}{2} < x < -1\)
3. \(x > -1\)

Ta kiểm tra dấu của biểu thức trên từng khoảng này:

- Khoảng \((-\infty, -\frac{3}{2})\):
\[
(x + 1) < 0 \quad \text{và} \quad \left(x + \frac{3}{2}\right) < 0 \Rightarrow (x + 1) \cdot \left(x + \frac{3}{2}\right) > 0
\]

- Khoảng \((- \frac{3}{2}, -1)\):
\[
(x + 1) < 0 \quad \text{và} \quad \left(x + \frac{3}{2}\right) > 0 \Rightarrow (x + 1) \cdot \left(x + \frac{3}{2}\right) < 0
\]

- Khoảng \((-1, \infty)\):
\[
(x + 1) > 0 \quad \text{và} \quad \left(x + \frac{3}{2}\right) > 0 \Rightarrow (x + 1) \cdot \left(x + \frac{3}{2}\right) > 0
\]

Từ đó, ta thấy bất phương trình \((x + 1) \cdot \left(x + \frac{3}{2}\right) < 0\) chỉ thỏa mãn trên khoảng \(-\frac{3}{2} < x < -1\).

Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \in \left(-\frac{3}{2}, -1\right)\).

### Phần b)

Giải phương trình:
\[x - \left(\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{98 \cdot 99}\right) = \frac{1}{100} + \frac{1}{99 \cdot 100}\]

Ta cần tính tổng sau:
\[
S = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \frac{1}{98 \cdot 99}
\]

Mỗi phân số có thể viết lại dưới dạng:
\[
\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}
\]

Do đó:
\[
S = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{98} - \frac{1}{99} \right)
\]

Số hạng ở giữa triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại:
\[
S = 1 - \frac{1}{99}
\]

Do đó:
\[
S = \frac{99}{99} - \frac{1}{99} = \frac{98}{99}
\]

Thay \(S\) vào phương trình ban đầu, ta có:
\[
x - \frac{98}{99} = \frac{1}{100} + \frac{1}{99 \cdot 100}
\]

Giải phương trình này:
\[
x = \frac{98}{99} + \frac{1}{100} + \frac{1}{99 \cdot 100}
\]

Tính toán chi tiết:
\[
\frac{1}{99 \cdot 100} = \frac{1}{9900}
\]
\[
x = \frac{98}{99} + \frac{1}{100} + \frac{1}{9900}
\]

Viết tất cả các phân số với cùng mẫu số là 9900:
\[
\frac{98}{99} = \frac{98 \cdot 100}{99 \cdot 100} = \frac{9800}{9900}
\]
\[
\frac{1}{100} = \frac{99}{9900}
\]

Tổng các phân số:
\[
x = \frac{9800}{9900} + \frac{99}{9900} + \frac{1}{9900}
\]
\[
x = \frac{9800 + 99 + 1}{9900} = \frac{9900}{9900} = 1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\).